CHAPITRE I
NOTIONS GÉNÉRALES SUU LES l'ROBABlLITÉS.
1. Oa a.p[}eUL' prohahilùé d'un événement le rapport du nombre des cas favorables à l'arrivée de cet événement au nombre total des cas possibles.
La probabilité d'amener le point quatre, par exemple, avec un dé est 7. parce que six cas peuvent se présenter quand le dé est jeté sur le tapis et qu'un seul est favorable à l'arrivée du point quatre. La probabilité de retourner un roi sur un jeu de 32 cartes est ô : il v a en
effet 32 cas possibles et 4 favorables; la probabilité est donc ~ = -■
Cette définition de la probabilité suppose toujours que les cas sont également vraisemblables.
Dans le premier exemple donné ci-dessus, il faudrait se garder de dire : le dé peut montrer le point quatre ou il peut montrer un autre point, il y a donc deux cas possibles dont un favorable, la probabilité est-- Les deux cas possibles ne sont pas également vraisemblables.
La probabilité est toujours comprise entre zéro et un; cette dernière valeur correspond à la certitude.
■2 !.. RACHKl.lKU.
|);ms II' hiii^M^^c nnlinairi'. OU (lit qu'un ('viMicinont a nenï r/idnccs sur (liv (le st> prdiluiro |i(tiir cxpriiiuT ((uc sa pniliahililo est o,().
Dans le cali'ul des probahililés, il csl conshiiiiinciil i\\'\\ usa^c de deux iiriiii'i|H's : i'tin osl reialil'à raddilinn des iirohahililés, l'autre à
ItMII' IIMllli|di('lllinll.
'2. Principe de la probabilité totale. — Si /On /x/r/age les cas f(Hi>rfih/csà l'arrivée d'un événement en différents groupes, la prohabilité de réxénemenl sera la somme des prohahilités pour qu'il appartienne à chacun des groupes .
On additionne en effet des fractions de même dcnoininaleufen addilionnanl les numérateurs.
Le choix des groupes est arbitraire, sous la eomiition de comprendre dans ces groupes tous les cas possibles sans qu'aucun s'y rencontre deux fois.
\a\ probabilité d'amener avec deux dés une somme de points supérieure à dix est égale à la somme des probabilités pour amener ii
ou 12.
La probabilité d'amener le point 2 ou le point 5 avec deux dés n'est pas représentée par la probabilité pour amener 2 ajoutée à la probabilité pour amener 5. On peut, en effet, les amener tons deux; le point 2,5 considéré une première fois comme contenant 2 ne doit pas être com|)té une seconde fois comme contenant 5.
3. Principe de la probabilité composée. — Lorsqu un événement E dépend du concours de deux autres, E,, E^, et que l'arrivée de Ej est subordonnée à celle r/<? E, , la probabilité de E est égale au produit de la probabilité de E, par la probabilité qu'acquiert E^ quand on suppose E, arrivé.
Soit en effet a le nombre des cas qui peuvent se présenter quand on attend l'événement E; sur ces ij. cas, il y en a, par exemple, m favorables à l'arrivée de E, et, parmi ces m cas. n favorables à l'arrivée
de E.,, la i)robabilité de E est -; or
— est la probabilité de E, et — est la probabilité qu'acquiert E, quand on suppose E, arrivé : le principe est donc démontré.
4. En particulier: Si les événements E,, E.^ sont indépendants, la prohabilité de E sera égale au produit des prohahilités de E, et E,.
Ce principe serait encore vrai dans le cas d'un événement composé dépendant de plusieurs événements E,, E^, E^,
On a souvent commis des erreurs en confondant le cas particulier de la probabilité composée avec le cas général, et en considérant comme indépendantes des probabilités qui ne l'élaient pas.
5. La probabilité d'an événement étant p, quelle est la probabilité pour que l' événement ne se produise pas en n épreuves.
La probabilité pour que l'événement ne se produise pas à la première épreuve est i — /?.
La probabilité pour qu'il ne se produise ni à la première ni à la seconde épreuve est égale, d'après le |)i'incipe de la probabilité composée, au produit de la probabilité pour qu'il ne se produise pas à la première épreuve, multipliée par la probabilité pour que, ne s'étant pas produit à la première épreuve, il ne se produise pas à la seconde; c'est-ii-dire est égale à (i — />)^; etc.
La probabilité pour que l'événement ne se produise pas en « épreuves est donc
Cette probabilité décroît constamment lorsque «croit; laprobabilité de l'arrivée de l'événement s'approche donc de la certitude.
La probabilité pour que, en n épreuves, l'événement de probabilité /> se produise au moins une fois est
6. Nous avons supposé que les n épreuves étaient identiques et que la probabilité de l'événement était p à chaque épreuve.
Si la probabilité de l'événement elait/j, à la première épreuve, /^o à la deuxième, p^ à la troisième, etc., pt, p^, p^, ... étant indépendants,
'( I,. l'.ACIII'.I.IKU.
I;i |»riili;il»ilil(' pour (pu' rrvi'iioiiKMil ne se produise |)as uni' soulo l'ois iMi II épreuves serait, eti vertu du prinei[)e des proliahililéseoinposéos,
Si les événeuienls dépendaient les uns des antres, la prol)al)ilité pour (|u'ancun événement ne se produise s'exprimerait toujours par la même formule, mais les (|uantités /^ n'auraieni [)lns la iiiénie sii;nincation:/>, serait la pi(dial)ilité pour que l'événemenl se produise à la première épreuve. /;.j sérail la probabilité pour que l'événemenl se produise il la deuxiènu^ épreuve dans l'hvpolhése où il ne se serait pas |iniduit à la |)r('rniérc. /'j serait la [irohabililé |)our(|in' revénement se |)roduise à la troisième épreuve dans l'hypothi-se où il ne se serait pas jtroduil à la ])reniière ni à la deuxième é|)reuve, etc.
7. Dans un jeu de \->. cartes, on tire deux cartes au hasard, quelle est la probabilité de tirer deux rois?
Le nombre des cas possibles est le nombre des combinaisons de 32
objets 2 à 2. c'esl-à-dire : -^ — ; le nombre des cas favorables est celui
des combinaisons de 4 objets 2 à 2, c'est à-dire : -^-; la probabilité cherchée est donc "'"
On peut aussi résoudre cette ([uestioii en emplovant le principe de la probabilité composée : la |)robabililé pour retourner deux rois est égale au produit de la probabilité pour retourner un roi au premier tirage multipliée |)ar la probabilité |iour ([ue, avant déjà retourné un roi, on en tourne un second au second tirage. La probabilité de tourner
deux rois est donc : 4-r- puisque, au second tirage, il reste 3i cartes
dont 3 rois.
Dans les mêmes conditions, la probabilité pour tirer au moins un roi
est égale à la probabilité pour retourner un roi au premier tirage, plus
la probabilité pour en amener un au second tirage si, au premier, on
n a pas retourne un roi, c est donc : ^ -1- — t?-- '^ 02 32 3i
On peut encore dire : la probabilité pour amener au moins un roi
est égale à l'unité diminuée de la probabilité pour n'amener aucun
roi. c'est-à-dire diminuée de ^- -^- La proiiabilité cherchée est
donc I — 5-- T^-
8. On mêle plusieurs jeux de 32 cartes; quelle est la probabilité de tirer quatre cartes noires de suite?
Si le nombre des jeux de cartes était infini, la probabilité de tirer
une carte noire étant à chaque tirage -r-^, la probabilité de tirer quatre
noires de suite serait d'après le principe des probabilités coni-
posées (i^)^
Si l'on opère sur un seul jeu de Sa cartes, la probabilité de retourner quatre noires est d'après le même principe
S'il y a m jeux de cartes, la probabilité est
1 6 /« 1 6 /H — I 1 6 /;i — 2 16 m — 3 82 m 32 ni — I 32 m — 2 82 m — 3
9. D un jeu de trente deux cartes on tire neuf cartes au hasard; quelle est la probabilité pour que, sur ces neuf cartes, il y ait exactement quatre cœurs ?
Le nombre des cas possibles est celui des combinaisons de 82 objets pris 9 à 9, c'est-à-dire
Considérons une combinaison favorable de neuf cartes; combinant d'abord dans celle-ci tons les cœurs, on obtiendra C^ combinaisons
favorables différant uniquement par les cœurs. Dans chacune de celles-ci on peut ensuite combiner toutes les cartes qui ne sont pas des cœurs, ce qui donne C . combinaisons différentes.
Le nombre des combinaisons favorables est donc C^ xC 5 et laproba-
t) I.. HACilKLIKIl.
bililé cherchée a pour valeur
8 ii
10. La |>r(tltaltilil('' pour (|u'il y ail parmi les neuf cartes au moins quatre cduirs est la somme des probabilités pour qu'il y ail quatre, cinc], six, sept ou huit cœurs, c'esl-à-clire
TT^Un X Cs +C5 X Ci -i-C, X C3 H-C, X r, j 4-C, X C , ).
Li, 8 91 8 t( 8 H 8 31 8 21
La probabilité pour (|u'il y ait moins de quatre cœurs est égale à la
somme des probabilités pour qu'il y ait zéro, un, deux ou trois cœurs.
La probabilité pour (|u'il y ait ([uatre cœurs et deux trèfles serait de
même
Cj X Cj X r. ,
La théorie des combinaisons permet, comme on le voit, de résoudre simplement certaines questions de probabilités.
11. Espérance mathématique. — On appelle espérance mathémaliquc d'un béiudice éventuel le produit de ce bénéiice par la |)robabilité de le réaliser.
L'espérance mathématique est donc négative lorsqu'elle correspond à une perte.
V espérance rnathémalupic totale d'un joueur sera la somme des produits des bénéfices éventuels par les probabilités correspondantes.
Il est évident (|u'un joueur n'est ni avantagé ni lésé si son espérance mathémati(jue totale est nulle. On dit alors que le jeu est écjuitahle.
h' avantage absolu d'un joueur est égal à la difl'érence entre la somme de ses espérances positives et la somme de ses espérances négatives; l'avantage absolu est donc l'espérance mathématique totale; c'est la somme qu'on devrait équitablement donner au joueur si on l'empêchait de jouer, lorsque le jeu le favorise.
12. Si un jeu se compose de plusieurs parties, l'espérance mathé"
CALCLL DF.S PROBABILITES. y
iiiatique totale est la somme des espérances relatives aux diverses parties si celles-ci doivent certainement être jouées.
En particulier, si le jeu est identique à lui-même à chaque partie, l'espérance totale est égale au produit de l'espérance relative k une partie par le nombre des parties ([ui composent le jeu.
Si un jeu est équitable à chaque partie, il est équitable dans son ensemble.
Il n'existe donc aucune combinaison pouvant rendre avantageux ou désavantageux un jeu, qui, à chaque partie, est équitable.
1.3. La notion de l'espérance mathématique permet quelquefois de déterminer les probabilités. On peut citer comme exemple ce problème classique :
Deux joueurs font un nombre illimité de parties à un jeu dont les conditions sont équitables ; leurs fortunes sont m et n\ quelle est ^ pour chacun d eiiiv^ la probabilité de-ruiner l'autre?
Pour simplifier le langage, on appelle fortune d'un joueur la somme totale qu'il consacre au jeu; lorsqu'il a perdu cette somme, on dit qu'il est ruiné.
Dans le problème qui nous occupe, nous supposons que, après chaque partie, le perdant verse son enjeu au gagnant.
Soit P la probabilité pour que le premier joueur ruine son adversaire; son espérance positive est P«, son espérance négative est — (i — ?)m. Le jeu étant équitable, l'espérance totale est nulle, et l'on a
d'où
on aurait de même
Les probcdnlités de gain des joueurs sont proportionnelles aux sommes qu ils jouent .
14. On étendrait facilement ce résultat au cas de trois joueurs, en
8 !.. liACIIl-.LIEK.
su|t|)i>saiil i|Ut' II' jfii se (ci'iiiiiii' lursciiic iliMix d'cnlrc ciixsonl ruiin's.
Si li'iirs forliiiu's sont m, ri, r, la in'nlniliilili' |miir (|ui' le prriiiicr (rcnirc
eux ruine les autres est
On lr;iiltM':iit de rnôuio le cas d'un noinliic (|ii('ln)n(|iie de joueurs.
I.î. Lorsiiue deux joueurs ue se lixcnl pas d'avanre un uondire maximum de parties, leurs probabilités de ruine sont inverseiucnl pro|>orli()nnelIes aux sommes qu'ils jouent ; il en résull(> (|no le plus pauvre d'entre eux sera vraiseinhiahlemeut ruiné. Celui qui joue équilai>lement contre tout adversaire qui se présente se trouve dans les mêmes conditions que s'il jouait contre un adversaire très riche; sa ruine est à peu près certaine. La probabilité de sa ruine s'approche de la certitude en même temps que le gain espéré |)ar lui croil indéfiniment.
i'î. Valeurs moyennes. — Soit />, la p'robabilité pour (|u'une certaine (juanlite a soit égale à r/,.
Soit p., la |)robabilité pour qu'une certaine (juantité a soit égale 'a a.,
Soit p,, la probabilité pour (|u'une certaine quantité a soit égale à a„.
La valeur moyenne absolue ou simplement la valeur moyenne de a est, par définition, la quantité
La valeur moyenne de a est donc l'espérance mathématique d'un joueur à qui l'on promettrait une somme égale à a.
On peut encore dire : La valeur moyenne d'une quantité est la somme des produits des différentes valeurs de cette quantité par leurs probabilités respectives.
