Dans le cas où n — m, la formule se réduit à

nui'"{o"' — /}"•)

désignons celte valeur moyenne par M.

La valeur moyenne corros|)()nd;iiit au joueur B est de même

On peut obtenir ces formules par une autre méthode. La durée moyenne du jeu est donnée par la première formule du n" l(S4 et elle a pour valeur M + .M'; on a donc

Soient p^, p,„+.,, p,n+x, ■■■ les probabilités pour que le joueur A soit ruiné à la m'"'"', à la ( m 4- 2 )"'"-, à la (m + ^y^""", ... partie; la durée moyenne correspondant à la ruine du joueur A est

Soient de même p'„,,p',„^2' /'/«+>' ••• '*^^ probabilités pour (jue le joueur B soit ruiné à la m"'""', à la (m -1-2)'""% ... partie; la durée moyenne correspondant à la ruine du joueur B est

M'= mp,„ -h (m + 2 )/->„,,-! + ('«-+- ^)p',„+i -+-

Nous avons reconnu précédemment (n" 181) que

Pm l'm^l rm+; g"' .

il en résulte qu'on a

CALCUL DtS PROBABILITÉS. iTS

Les formules (3) et (4) permettent de déterminer M et M'; elles conduisent aux formules ( i ) et (2).

188. Reprenons le cas général : la durée moyenne relative correspondant à la ruine du joueur A est la durée moyenne qui précède sa ruine quand ruine il y a; on l'obtient donc en divisant la quantité j^^ par la probabilité de la ruine, c'est-à-dire par

P La durée moyenne relative est donc

A'n + n)('iy

H- ni

i-t- Il

/fi"-

Lorsque « = m, la durée moyenne relative est la même pour les deux joueurs.

189. Lorsque le jeu est équitable, les formules deviennent indéterminées; en leur appliquant la règle connue on est conduit à la valeur

de^„,;ona

i(in -H /*)

La durée moyenne relative correspondant à la ruine du joueur A est

190. Cas où le jeu est symétrique. — Le Joueur A possède m francs et le joui'ur B, n francs ; ils Jouent i fr par partie avec égale prohabilité de gain et de perte; quelle est la probabilité pour que le Jeu se termine à la [x"^™" partie par la ruine du joueur A?

Notre méthode, pour résoudre ce problème, consiste à employer une suite de termes dont le premier comporte une erreur. Le second

l'\\ I.. IIAC.IIKLIKK.

Icriiic su|i|iiiiiii' rcrrciir (lu iPiciiiicr cl en inlnxluil une aulic : il fti csl ainsi justiu'aii (Icriiicr tcniic (|iii sii|t|)i'irii(' l'iMTOur ilc l'avaiil-iioriiior sans en iiilrmliiirc de nouvelle La t'orniulc tinalc a la(|ui'lli' nous parviendrons, obtenue par une suite d'approximations, sera donc

ngourcusemeni exacte.

l)esi},Mions par lIp,.„M« '" probabilité cherchée; n,^,,,,,, est la probabilité de ruine du joueur A à la jx"""' partie, en supposant que le joueur H ail une i'orlunc inlinic; cette probabilité a été calculée (n" I'i0);elle a |)our valeur

- 'ii f"'