V-"'-~ n jji/,j^ fj. -\- m X
Nous pouvons poser en première approximation
Cette formule donne pour la pr(d)abilité cherchée une valeur trop forte; de toutes les séries d'alternatives de gain et de pei'te produisant la ruine du joueur A précisément ena parties, nous devons retrancher celles ([ui produiraient précédenimenl la ruine du joueur B.
Si le joueur H (|uand II esl ruiné pouvait conlinuer à jouer jusqu'à la ij.'''"'' partie, il y aurait probabilité égale pour qu'il gagnât m-hn francs cl (|u'il ruinât le joueur A, ou pour qu'il perdit encore m-\-n francs, ce qui porterait sa perte à />/ -[-■in francs.
A chaque série d'alternatives de gain et de perle (|ui produit la ruine du joueur B et qui aurait ensuite produit celle du joueur A correspond une série ([ui donnerait au joueur \\ la iierte m-\--2n s'il possédait celte somme; et, comme aucune des premières séries ne ruine le joueur A avant la [jl''""" partie, aucune des secondes ne ruinerait le joueur B avant (-ette a''""' partie, s'il possédait m -i- 2^ francs. Ceci nous incite à poser en seconde approxinialion
La quantité n|ji,,„+o„,„ que nous avons retrancliée est trop forte, car nous avons retranché les séries produisant la ruine du joueur B supposé posséder m + 2/< francs, alors que nous n'aurions dû tenir compte
CALCUL DES l'ROBACILITÉS. l35
parmi elles que de celles qui ne causent pas d'abord la ruine du joueur A.
Or, si le joueur A supposé d'abord ruiné avait pu continuer à jouer, il n'est ni plus ni moins probable qu'il eût gagné les un -\--iit l'rancs qui auraient amené la ruine de B qu'il n'est probable qu'il eût perdu ces im-\- in francs, ce ([ui aurait porté sa perte à 'im+ m francs. On doit donc poser en troisième approximation
et ainsi de suite; on a donc
~^ lljX.(2).-!-l)/M-i--2/.n,» Ujj,;.2),j il„, + f.,),j a)„^« + . . . .
La formule s'arrête lorsque la quantité (2A + i ) //? + 2A// ou (2A-I- \)jn -f-(2A -i-2)« est supérieur à a.
191. Le joueur \ jjnssèi/e m francs et le joueur B, n francs; ils jouent I fr par partie avec égale probabilité de gain et de perle : quelle est la probahililé pour que le jeu se termine en u. parties au maximum par la ruine du joueur A?
La probabilité cherchée P^,„„ est évidemment la somme des probabilités
(X prenant les valeurs ///, ni -+- 2, ni + 'j On a
p — vfT — Vif vri ; vri
-nji,„ „ est la probabilité de mine d'un joueur en u;. parties quand son adversaire est infiniment riche, c'est-à-dire P(i.,„,„ ; les termes suivants sont de même P^.„,^o„,. , P(i..im+,„.„
Les termes du second membre se calculent soit par la lornuile du n° 138. soit par celle du n" I i 1 .
La probabilité P^,„,„ s'obtient par la formule ( i ) ou par la formule (^2).
r?() 1.. liAc.m.i.n-ii.
La [)ri)l)iil)ilit(' piuii' (|ii(' le ji'ii se k-riiiiiiL' on [j. parties au inaxitiiiiin par la ruine de l'un (|uelconque des joueurs est la soinnic des probabilités de iiiint" relatives à cbaque joueur.
\\)i. Étude du cas général. — Le juucur A possède m francs, le joueur B possède n francs ; quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à la u."""' partie f)ar la ruine du joueur A ?
Nous supposerons (luc, à cliaquc |tarlic, le joueur A a probabilité p pour gagner i fr et probabilité q = i — p pour perdre i i'r.
On pont l'acilenient rainciicr le cas général au cas particulier du jeu svnu'lri(|uc.
D'après un principe précédemment exposé (n° Ki''i), les probabilités de ruine de l'un quelconque des joueurs à une partie indiquée sont les mêmes au poini de rue des coef/irien/s {\\iv ^\ le jeu était symétrique. En d'autres termes, la probabilité pour (|uc le joueur A soit ruiné à la j^itnu- partie est le produit d'un coetricienf indépendant de p et de q par
une quantité dépendant de/» et de ^ et qui est évidcmment/j " q
puisque, sur les p. parties, u y a <-— pertes et gains.
Si donc on pose
fi fi-
on a simplement
yj — m [X -(- ;«
19.3. On peut exprimer Il^„,,„ comme précédemment (n" 190) en fonction des probabilités analogues de la forme 11^^^,. On a
J ^*U,.5/«-f 4/ï,oc I ~ I -'u.,5tc-I-6/ï,«
CALCUL DF.S PROBABILITES. i'^'y
Q désigne l'expression II dans laquelle p est remplacé par q et inversement.
En d'autres termes, les quantités Q désignant les probabilités relatives au joueur B.
Par exemple, le second terme de IIp, ,„ „ est
m -\- in fi !
p J 'J. y. — ni — 2 n ^ jj. -h m -h 2 n ^
u:-H»»-*-2rt [JL — m — î/i
il est identique au second terme de la formule du n° 192.
194. On peut démontrer directement la dernière formule qui exprime IT^,„,„ en modifiant quelque peu le raisonnement employé dans le cas où il y a symétrie (n" 190j.
On a toujours en première appioximation
Cette formule donne pour la probabilité cherchée une valeur trop forte; de toutes les séries d'alternatives de gain et de perte produisant la ruine du joueur A précisément en a parties, nous devons retrancher celles qui produiraient précédemment la ruine du joueur B.
Si le joueur B, quand il est ruiné, pouvait continuer à jouer jusqu'à la iJi.'''™'" partie, la probabilité pour qu'il gagnât m-\-n francs et qu'il ruinât le joueur A serait à la probabilité jxaur que lui-même perdit encore ni-\-n francs dans le rapport de q"'~^" Ap"'^"(n° 181), et comme, dans cette hypothèse, sa perte serait m -h in francs, on doit poser en seconde approximation
n — TT — i o
La démonstration est, comme on le voit, absolument analogue à celle du n" 190; la formule obtenue par une suite d'approximations est finalement exacte.
19ô . Le joueur A jjossède m francs et le joueur B , ti francs ; quelle est B. - 1. >8
|j{8 I.- liAI.III'.I.IKIt.
ta prohtibilité pour que le jeu se termine en [x parties, au maximum, par la ruine du joueur h.']
La probabilité cherchée IV,,,,,,, L-st évidemment la somme des probabililes IL „, „
' a.m.n '^^— ^V "|j.,„i,ni |J. — m
IX prenant les valeurs m, ni + 2, /// 4- '|, . . . .
On |)eul obtenir Ppi,,„.„ en sonnnanl les termes de la formnle du n" 192 ou ceux de la formule du paragraphe précédent. Dans ce dernier cas, on a
rp.,,,,.,, — I ji,,„,<« \ n) V|J., /n+Sn,»
I — I ' u..3„,+2n.» — ( ~ ) V!X,3„, + IH,
\q / \pJ
Q est obtenu en substituant /j à y dans l'expression de P. Les quantités Q désignent donc des probabilités relatives au joueur B.
Les termes du second membre se calculent par la formule du n" 148 ou par celle du n" 149.
Les calculs sont d'ailleurs impraticables si /)i,n et [x ne sont pas de petits nombres. Il est toujours facile de calculer les probabilités avec une grande approximation en ayant recours à la théorie des probabilités continues (|ui sera exposée plus loin.
La probabilité pour que le jeu se termine en a parties au maximum par la ruine de l'un quelconque des joueurs est la somme des probabilités de ruine relatives à chaque joueur.
196. Si aucune limite n'est assignée pour la durée du jeu, quelle est la probabilité de ruine du joueur A?
La quantité que nous cherchons est
P -Vu
CALCUL DES l'ROn.U'.U.ITKS. 1 3()
OU
\I>/ Kl' \P/
am+4rt,ao '
Supposons que le jeu soit avantageux pour le joueur A, c'est-à-dire que/? soit supérieur à q. Le premier terme est la probabilité de ruine du joueur A possédant m francs et jouant contre un adversaire infiniment riche (n° 150); cette probabilité a pour valeur
Le troisième terme est le produit par ( ^ j de la probabilité lofale de ruine du joueur A possédant 3w + 9.n francs, c'est-à-dire
in-\-n / ^f'\ '.im-i-in f ^j , lm-\-n
fj \ //i-i-u / fj \ .i/rt-t-i'i ' Q
Le cinquième terme est de même
et les termes de rang impair forment une progression géométrique dont la somme
<7 \ '" r /'oX'""'"" { q\-'"' *'"'> /«\3("i+n)
a pour valeur
Les probabilités Q..,,« qui figurent dans les termes de rang pair sont des probabilités totales de ruine d'un joueur B que le jeu désavantage et dont l'adversaire est infiniment riche. Ces probabilités sont égales à un (n° 150), de sorte que les termes de rang pair se réduisent à la série
l/jO !.. BAC.11KI,1I.R
dont la soiiiine est
-aï'"
La probabilité do ruine du joueur A est donc
it
C'est le résultat que nous avions obtenu (n" 176); il ne changerait pas si lo jou désavantageait le joueur A.
197. Distribution des probabilités. — Pour résoudre d'une façon complète le troisième problème de la théorie du jeu, il faut connaître les probaiiililés relatives à tous les cas possibles; nous connaissons les probabilités relatives à tous les cas où il y a ruine; il nous reste à déterminer les probabilités relatives aux cas où les joueurs ne sont pas ruinés à la a'"'" partie. Nous allons donc résoudre le problème suivant :
Le joueur A possédant m francs et le joueur B, n francs, quelle est la l>rohahilité pour que à la u}'"" partie le joueur A. perde la somme x?
Nous supposons d'abord que le jeu est symétrique. Si les deux joueurs avaient une fortune infinie ou simplement supérieure à [x, la probabilité de la perte x pour le joueur A à la ij.""'' partie serait nT^.j;. Il faut retrancher de cette quantité les probabilités relatives aux cas où le joueur A est d'abord ruiné et les probabilités relatives aux cas où le joueur B est d'abord ruiné.
Déterminons les probabilités relatives aux cas où le joueur A est d'abord ruiné.
Si le joueur A lorsqu'il est ruiné pouvait continuer à jouer, il y aurait par suite de la symétrie de la probabilité autant de chances pour qu'il gagne la somme m et pour que sa perte finale soit x que de chances pour qu'il perde la somme m et pour que sa perte finale soit ■im — X. La probabilité relative aux cas où le jouour A est d'abord ruiné est donc en première approximation rri^.,,„^^.
CALCUL DES PKOBAIilLlTÉS. I.4I
Cette valeur est trop forte; elle comprend les probabilités relatives aux cas où le joueur B, d'abord ruiné, aurait ensuite gagné la somme n -H im — X s'il avait pu continuer à jouer; nous devons donc retrancher de cTj;, j„, les probabilités relatives au cas où le joueur R, d'abord ruiné, aurait ensuite gagné la soinnn^ // + 2/« — .r ou les probabilités relatives aux cas où le joueur B. d'abord ruiné, aurait ensuite perdu n -ir- im — .X, c'est-à-dire retrancher rara.2„+2,« - , • Ainsi, aux cas où le joueur A est d'abord ruiné correspond, en seconde approximation, la quantité
Le raisonnement est analogue à celui du n" 190; il conduit par une suite d'approximations à un résullat exact.
Les probabilités relatives aux cas où le joueur B est d'abord ruiné s'obtiennent par la même méthode; linalement la probabilité cherchée a pour valeur
CTp.^j; ^[JL,2//1— X "i" ^IJ..2/H^2«— X ^U,,4//I-*-2n— X "H * • •
.■ ^(i,-2rt-t-x "^ ^ti,2/i-t-2'H^X ^ÎJ,,VH-2/«-t-x "+" • ■ *•
198. Cette formule suppose que le jeu est équitable; mais, d'après la remarque du n" 144, elle s'applique au cas d'un jeu quelconque, pourvu que les quantités telles que
,a — c , IJ.+ Z \1
soient remplacées par les suivantes
Connaissant la distribution des probabilités, on calcule sans difficulté la probabilité totale de gain du joueur A et l'espérance mathématique de son jeu.
199. Remarque relative aux épreuves répétées. — Les questions que nous avons résolues en traitant le second et le troisième
l42 I.. llAC.IIKI.ir.ll.
Iirobli'iiu' (lt> la (licorio du jeu iiciivcnl rlii' présentées sous iiiic roi'riic qui parail plus j^éiiéralo parci' qu'elle ne se rapporte pas explicitenienl à un jeu. l'ar exemple, on peut énoneor comme suit le problème du n" l'iH :
Soient/' la |u'obabililé d'un événement A; (j ^^\ — p la probabilité de révéneinent contraire B. Quelle est la |)robabilifé pour que, en u. épreuves au maximum, le nombre des arrivées de l'événement M dépasse de m le nombre des arrivées de l'événement A?
Le problème traité au n" 158 peut s'énoncer de la l'aeon suivante : Soient /> la probabilité d'un événement A; y = \ ~ p la probabilité de l'événement contraire H. Quelle est la valeur moyenne du nombre d'épreuves qu'il faut tenter pour que le nombre des arrivées de l'événement H surpasse de m le nombre des arrivées de l'événement A. Le problème résolu au n" h).") peut s'énoncer comme suit : Soient p la |)robabilité d'un événement A; y ^ i —y; la probabilité de l'événement contraire B. Quelle est la probabilité pour que, en \L épreuves au maximum, le nombre des arrivées de l'événement B surpasse àe m le nombre des arrivées de l'événement A; le nombre des arrivées de A n'ayant pas précédemment dépassé de // !e nombre des arrivées de l'événement B.
Cette nouvelle manière d'énoncer les problèmes est en réalité identique à celle que nous avons employée; si elle semble plus générale, elle parait, par contre, moins expressive et moins claire.
200. Cas de trois alternatives. — Les conditions du jeu sont les suivantes :
A chaque partie, le joueur' A a probabilité/) de gagner i Ir que lui remet le joueur B ; probabilité q de perdre i fr qu'il remet au joueur B et prol)abililé r ^ \ — p — q de l'aire partie nulle. Le joueur A possède m francs et le joueur B, n francs.
Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, la probabilité pour que le joueur A soit ruiné est
CAI.riL DES PUOI-.AlilLIÏI.S. l4'i
On démontre cette formule par la méthode du ii° l7fiou parcelle du n" 179. La prohabilité de ruine du joueur B est i — X.
Relativement à la durée moyenne du jeu, on est conduit au ménie théorème que précédemment (n" 182), et, si le jeu est équitable (/; = (/),
la durée moyenne a pour valeur ■
On pourrait résoudre le problème analogue à celui (|ui a été (rai(é au n" 186; on serait conduit à la même formule.
201. Quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à la (jj^irino partie par la ruine du joueur A?
En désignant par ll,i.„,,„ cette probabilité, on a
il \ n 1
Q. représente la probabilité analogue à II mais relative au joueur B et s'obtient en remplaçant p par «7, et inversement, dans l'expression de n.
La démonstration de cette formule est identique à la démonstration directe donnée au n" 194 et relative au cas où r = o. Cette démonstration est en eU'et basée sur une remarque (n" 181) dont les conclusions subsistent intégralement dans le cas actuel.
202. La probabilité pour que le joueur A perde la somme x à la j^ierue paptjg gg^ exprimée par la formule
"fA.;/î-i-2w-t-x ■
dont la démonstration est analogue à celle qui a été exposée au n" 197. Dans le cas considéré, il n'y a pas symétrie: la |)robabilité du gain z n'est pas égale à la probabilité de la perte z, mais la probabilité du gain - est à la prohabilité de la perte ; dans le rapport de jr h q' . Il suffit de modifier la démonsirafion du n" 197 en tenant compte de cette remarque pour obtenir la dernière formule.
l'i'l !.. lUC.lIKUl'.R.
"2();i. Cas où il y a plusieurs joueurs. - Dans \o eus où il y a trois jouoiiis possédant des l'ortiines limiléos, les dili'érenls prol)lèmcs paraissent d'un tout autre ordre de dirticullé que dans le cas de deux joueurs.
En (loliors de la (|uestion très olénienlaire résolue au n" \^i, il nous est possiMe de calculer, d'une fa^on relativement simple, la durée moyenne du jeu.
•20^1. Trois joueurs A, B, C possèdani les sommes rt, è, c jouent dans les conditions suivantes, jusqu'à ce que fun d'eux soit ruiné. A chaque partie, le perdant donne i fr au gagnant, le troisième joueur fait partie nulle; les prohabilités sont les mêmes pour les trois joueurs.
Quelle est la durée moyenne du jeu?
Cette durée moyenne est l'espérance mathématique d'un joueur H qui recevrait i fr par |)artie jouée.
Soit /(x, y, z) la durée moyenne du jeu lorsque le joueur A possède .r francs, le joueur B, y francs et le joueur C, - francs
(x -\- y + :■ ^ a -h b -h c). On a
En effet, la durée moyenne du jeu se compose d'abord de la prochaine partie, puis six cas sont également probables : A gagne et B perd, A gagne et C perd, B gagne et C perd, C gagne et B perd, B gagne et A perd, C gagne et A perd.
Sans chercher la solution générale de l'équation aux différences partielles, on [leut montrer que seule la solution particulière
vérifie la condition aux limites pour j: = o ou y = o ou :; = o.
Supposons, en ellet, que la fonction zi{x,y, z) satisfasse à l'écjuation ci-dessus, retranchons cp (x,y, z) de /(j-, y, z) et désignons par ■\/(.r, y\ z) leur dilTérence; nous aurons
(l) •^(.r,v-, ;)— L|(^.H 1, ,•— I, c)-f- ^'^Cj'-i- I, j, ; — n
-t- ^ iL ( X, V H- I . G — I ) + - 'J/ ( .r. y — I , ; — I )
avec la condition aux limites i = o lorsque .r ou y ou : s'annulent.
Nous allons voir que '^ est nul. Supposons que la fonclion '^ soit maxiina pdur les valeurs x, \ , z de ses variables.
D'après l'équation (i), si l'un des 'h du second membre est infériélir à ■\ (.r, V, :: ), l'un au moins de ces } du second membre est supérieur à '\{^x, y, z): or cela est contraire à notre hypothèse; donc tous les ']/ sont égaux. En d'autres termes, la fonction 'K-r, y, z) est indèpend.inle des valeurs de ses variables, et. comme elle s"annule en même temps que l'une (|uelconqne d'enti'e elles, elle est nulle conslanimeiil.
Si, dans la fonction
on remplace x par «, y par /;, ; parr, on obtient la durée moyenne cherchée
Zabc
205. Si l'on suppose la fortune du joueur C inlinie, la durée moyenne .In jeu est 3ai; elle est trois fois plus longue que si les joueurs A et B jouaient seuls.
Si deux joueurs ont des forlunes infinies, la durée moyenne du jeu est infinie.
206. On peut être conduit directement \\ la considération de la fonction ■} eu se posant la question suivante : Le jeu étant celui que nous étudions, quelle est la probabilité |)our qu'il dure indéfiniment?
Si nous désignons par ■];(./■, \, z) cette probabilité lorsque le joueur 15. - \. '9
l/|() I. r.ACIIFI.ll.li.
A possède .r francs, le joiiciir l( y Iraiics cl le jouoiir (', ; traiics (a; + V-h 3 == « -4- A H- c), coHe roiiction ilcvia satisl'aiie à l'équa- (ioii (i^ et à la l'omlilioii aux li tuiles .[> = o pour .r nu y ou ^ = t).
D'après la tlèinoMslratioii (|ni précède, la prohabililè pour que le jeu dure indéliniinent est nulle, résultat évident.
"207. Trois joueurs A, B, (". ayant pour fortunes r/, h, c jouent jusqu'à la ruine de l un d'euv aux eonditions suivantes : A chaque partie, l'un des joueurs gagne i l'r, les deuv autres joueurs perdent chacun i fr. En supposant que, à chaque partie, l'un quelcon(pie des joueurs ait une chance sur trois de gagner et deux chances sur trois de perdre, quelle est la durée moyenne du jeu?
Celle durée moyenne esl l'espérance mathématique d'un joueur II (|ui recevrait i Ir par partie jouée.
Désignons p»r /(ce, y, :■) la durée moyenne lorsque le joueur A possède X francs, le joueur B, v francs et le joueur V,, z francs;
(r -^ y -\- z = a -^ h -h c); la fonction /doit salisl'aire à la relalion
Bi4 effet, le jeu se composera d'abord d'une partie, après laquelle trois cas seront également probables, correspondant chacun au gain d'un des trois joueurs.
Sans chercher à déterminer la solution générale de l'équation aux dilférences partielles, on peut démontrer, comme dans le prol)lème précédent, que seule la solution particulière
satisfait à la condition aux limites .-y^o pour .r = o ou v = ()ou - = o.
En remplaçant x, y, z par a, l>, c respectivement, on obtient la valeur moyenne cherchée
(I -^ tj -h c — 2
CALCl'L DES PUOliAlill.ITKS. \'^n
208. Si la l'ortunc du joueur C est infinie, la durée moyenne est ab; elle est donc la même que si les joueurs A et B jouaient seuls à i (r par partie.
Si deux joueurs ont une fortune inlniie. la durée moyenne du jeu est infinie.
209. Trois joueurs A, B, (^possédant les sommes a, b, c jouent jusqu'à ce que deux d'entre eux soient ruinés. Quelle est la durée moyenne du feu ?
Nous supposerons d'abord que les conditions du jeu soient les suivantes : à clia({ue partie le perdant verse i fr au gagnant, le troisième joueur fait partie nulle. Les [iroljabilités sont les mêmes pour les trois joueurs, et, quand l'un de ceux-ci est ruine, les deux autres continuent à jouer, le perdant versant à chaque partie i IV :iu gagnant. Le jeu prend fin ([uand l'un de ces joueurs est ruiné.
La durée moyenne du jeu se compose :
I" De la durée moyenne du jeu jusqu'à la ruine de l'un des joueurs (n° 204); cette durée est 'y-^ — ;
2° De la durée moyenne après la ruine de l'un des joueurs. Si, au moment de la ruine d'un premier joueur, on connaissait la somme m que possède un second joueur et la somme n que possède le troisième (m -h n = a -h b -h c ^ s), la durée moyenne d'un jeu (n° 184) serait mn :
Soit />, la probabilité pour que le joueur A soit ruiné le premier, le joueur B possédant alors i fr et le joueur C, (s — i) francs.
Soit /"o la probabilité pour que le joueur A soit ruiné le premier, le joueur B possédant alors 2 fret le joueur (^, (^ — 2) francs, etc.
Soit q, la probabilité pour que le joueur B soit ruiné le premier, le joueur C possédant alors i fr et le joueur A, (.* — i) francs.
Soit ^2 la probabilité pour que le joueur B soit ruiné le premier, le joueur C possédant alors 2 fr et le joueur A, {s — 2) francs, etc.
Soit r, la probabilité pour que le joueur C soit ruiné le premier, le joueur A possédant alors i fr et le joueur B, (^ — i ) francs.
Soit r.2 la probabilité pour que le joueur C soit ruiné le premier, le joueur A possédant alors 2 fr et le joueur B, (.9 — 2) francs, etc.
l/|S !.. IIACIII'.I.IKII.
Lu iluri't' luuyiMuie cherchée est (I) — ^ i-/<,i(.v — i) h /ii-i(s — ■?.) -^/>,:^(.ç — 3)+... H- /<,<,(.< — 1)1
Pour ealculei' la sdi le-- leriiies (|ui (•(uiliemienl les probabilités p,
nous écrirons de doix iiiaiiièr'es (lillcrciiles l'expression de la durée moyenne du jeu en siipposanl (|ue (■(dni-ri prenne lin à la iiiine de l'un (les joueurs.
La durée mnvrnne du jeu a pour valeur ; < or cette quantité
|)eut être considérée comme la dillérence de deux autres.
On peut (l'abord supposeï' (jiie. W et C ayant pour fortunes b et c, le joueur A possède une fortune infinie et retrancher ensuite du résultat obtenu dans cette hypothèse des termes correspondant à ce l'ait que le joueur A n'a pas une fortune infinie mais une fortune égale à a.
Si A avait une fortune iniinie, la durée moyenne du jeu serait (n"20ô)3/^c.
Il faut retrancher de celle; quantité la diminution de durée moyenne provenant de la possibilité de la ruine du joueur A.
Cette diminution est
car les termes de cette suite contiennent les différentes probabilités du joueur A multipliées par les diminutions de durée moyenne correspondantes.
Par exemple, le joueur A peut être ruiné, les joueurs B et C possédant -1 fr et {s — -i) francs; cette éventualité qui a pour probabilité/>2 diminue la durée moyenne de la quantité 3x2 (s — i), car, si le joueur A lorsqu'il est ruiné pouvait continuer à jouer possédant une fortune infinie, la durée moyenne du jeu serait 3 x 2(5 — 2).
La durée moyenne du jeu considéré a donc pour expression
3 abc
-, et
2,bc — Z\i)ii{s — \)+p,'i{s—i)+.. . + />,,(* — 1)1]
CALCUL I)KS I KOBADII.IÏKS. l/jq
on en déduit
/J, I (t — l) +/).,2(.S- — 2) -1-. . .-hlJs-x{X— ])l =zbC ; = ;
a-(-o-i-c a -h 0 -h c Un a de même
ac(a + c)
a -h 0 -h c ah{a -+- b)
a -h h -i- c Snhstiluant ces valeurs dans l'équation ( i ), on obtient l'expression
iahc ah a ->- h) -1- nc{ a -h c ) ^ l/c ( b -h c )
Telle esf la valeur de la durée moyenne.
2 lu, Le problème ([ui [)récéde peut être ramené à l'intégration d'une équation aux différences partielles :
En désignant par /(x, v, :■) la durée totale du jeu (c'est-à-dire jusqu'il la ruine de deux des joueurs) quand le joueur A possède •»■ francs, le joueur B,j francs, et le joueur C, :; francs Çv-hy-h^ =a-\-b-\-c), on a
/(x, J, z) = i + y(j:-,i, •>.,.;)+ ^ /•(.,: -,,,,•. ; — 1) -h ^/(.r, r-f- I, ; — i)-)- qA-^- y — 1- :-hl) + ^/(.r — 1. j + i, ;)-f- l/-(.r — 1, j, ;;-+-i)
comme dans le cas du n " 204, mais les conditions aux limites sont (litTérentes.
Quand .r, par exemple, est nul, cest que le joueur A est ruiné et alors la durée moyenne du jeu est v:; (n° 184).
On doit donc joindre à l'équation ci-dessus les conditions aux limites
Ce système admet pour solution
f(^ ^ ., Sj-ij: - xy(x + y)^xz(x -]-z)+yz(y + z) •' '' X -\- y + z x + y + z
!.. i;V( Mil ll-li.
cl l'on ili'iiumlrc fdimiii' iucccilciniiiriil ( n" 204) que celte solution est uni(|ue.
La durée iiiuyeiine tolalc du jeu s'()l)(ienl en posant a; = a, y = 6, z = c; elle a donc pour valeur
3 obc ab{(i -<r h) -^- ac(a -^- c) +- hc(h -+- c)
Lorsque a = b = c, celle expression se rédiiil à l]rr: la durée iiKiVcmie •2fl'-. après (|ue l'iiii des joueurs est ruiné, csl donc alors la iiiciiie (|ue si l'un (les deux aiilrcs joueurs avait gai;iie la totalité de ce que le premier a perdu.
211. On peut supposer les condilions du jeu diflerentes : à chaque parlii\ chacun des joueurs a une chance sur trois de gagner 2 f r et deux chances sur trois de perdre i fr. Quand l'un des trois joueurs csl ruiné, les deux autres continuent ii jouer comme dans le cas précédent.
Le raisonnement qui a été employé subsiste intégralement; il suffit de remplacer les valeurs moyennes obtenues dans le premier cas (n" 204 ) par celles que l'on olilient dans le second (n° 207).
La durée moyenne, avant la ruine de l'un des joueurs, est
abc
la durée moyenne, après celte ruine, est
ab(a -\- b — 2)-i-ac(a-hc — 2)-hbc(b-hc^ 2) a ->r b -+- c — 2
et /a durée moyenne totale a pour valeur
abc ab(a -h b ^ 2) -^ ac{a -h c — -i) -h bc{b + c — 2)
a -i- b -\- c — 3 fl + ^ + e — 2
212. Le problème qui précède peut être ramené à l'intégration d'une équation aux différences partielles.
En désignant par/(x-, y, r ) la durée moyenne totale du jeu (c'està-dire jusqu'à la ruine de deux des joueurs) quand le joueur A possède X francs, le joueur B, y francs et le joueur C, = francs
CALCUL DES PKOriAr.ILITÉS. 131
(a; -f-.v 4- - = a 4- ^ -I- c), on a
comme dans le cas du n° 'i07, mais les conditions aux limites sont dilFérentes.
Quand x, par exemple, est nul. f't'sl que le joueur A est ruiné et alors la durée moyenne du jeu est r= (n" 184).
On doit donc joindre à l'équation précédente les conditions aux limites
f{o, y, z)— YZ, f(x. o. z) — œz, /{jc, y, o) = a.y.
Ce système admet pour solution
xrz
jr -h r ^' z — 2
ûsy (■£ -h Y — 2 ) -t- a^3 ( X + ^ — 2 ) -H y ; ( r + 3 — 2 ' X ^- >•-)-:; — 2
et l'on démontre comme précédemment (ir20'i) que cette solution est unique.
La durée moyenne totale du jeu s'obtient en posant ./; = a, r = />, z =: c: elle a donc pour valeur
abc ab(a-\-b — 2) ~ aria + c — 2) -i- bc{b -\- c — 2)
CllAriTUE VI.
IMSOItVIill.lTKS CONTINUES UMFOltMKS.
2i:{. l.cs l'ormulps dont nous avons fait usage dans la (licorie générale du jrii cl dans la llicmie des épreuves répétées présenteiii de très grands inconvénients.
Dans les cas les plus simples, ndatit's à ces prohaltilités disconliiuics, on obtient lacilenienl des l'orniules donnant la solution des divers prol)lémes; mais, comme ces t'orniules conlicuncut des i'aclorielles, leur calcul est impraticable quand le n(>ml)re des épreuves n'est pas très petit.
Dès que les données d'un problème se compli(|uen(, sans cependant (|iie le problème change de nature, il devient de plus en plus difficile de trouver nue formule qui en exprime la solution. Deux formules ndalivcs à des problèmes de même nature peuvent être apparemment très dilférenles; il est ct;pendant évident que, le nombre des épreuves devenant très grand, les solulions de ces deux problèmes doivent être représentées par des mêmes formules ne différant que par des coefficients.
Enfin, les formules discontinues ne sont pas expressives; elles ne donnent aucune idée des lois de la variation des probabilités avec le nombre des épreuves.
214. Ces inconvénients soûl si évidents, que de[)uis longtemps on emploie, pour la théorie des épreuves répétées et pour le problème le plus simple de la théorie du jeu, des formules approchées qui sont continues et expressives, qui conduisent à des calculs simples et ([ui donnent une idée très nette de la variation des probabilités avec le
CALCUL DES l>liOI!AlilLITi:S. l5'3
nombre des épreuves. Ces formules que l'on déduil des formules discontinues ont toujours été considérées comme approchées et c'est pour cette raison ([ue leur usaije est testé très limité. Des formules approchées ne peuvent servir de point de départ pour de nouvelles recherches, c'est pourquoi l'emploi des formules continues ne s'est aucunement étendu depuis Laplace.
21.). Les problèmes qu'on s'était posés ne pouvant admettre comme solution exacte que des formules discontinues, l'idée de considérer les probabilités comme continues a priori ïni seulement envisagée il y a quelques années lorsque je me proposai de résoudre des problèmes analogues mais dont les solutions exactes devaient être nécessairement continues.
La théorie édiliée alors était relativement particulière; il fallait la généraliser de façon qu'elle comprit les résultats connus avec beaucoup d'autres, il fallait aussi établir la classification des différents problèmes, d'après leurs caractères réels et pour cela, si possible, les considérer tous comme des cas particuliers d'un seul genre de questions; il fallait entin traiter ces questions eu admettant a priori la continuité.
216. Pour satisfaire à cette dernière condition, nous supposerons une suite d'épreuves en nombre très grand, de telle sorte que la succession de ces épreuves puisse être considérée comme continue et que chaque épreuve puisse être considérée comme un élément.
S'il s'agit d'un très grand nombre ijl d'épreuves, on peut supposer que celles-ci se suivent à intervalles de temps infiniment petits égau.\ et considérer la variable \i. comme représentant le temps total.
Cette assimilation fournit une image précieuse qui fait concevoir ta transformation des probabilités dans une suite d'épreuves comme un phénomène continu.
On com[)rend l'ulilité d'une telle conception : par elle la théorie des probabilités, tout en conservant son caractère purement mathématique, prend une forme en quelque sorte animée dont un des avantages est de permettre certaines assimilations avec quelques théories de la Physique mathématique. Nous verrons même, en étudiant le rayon-
