I.'l'l !.. nACIlKMEK

iiciiient dos probabilités, ([ur cos analogies pcuvonl être précisées dans certains cas.

La variable (lui représente un nombre d'épreuves peut (iour. être considérée connue exprimant ii' temps, m;iis. en dcliors des (pieslions où la notion de temps s'introduit d'elle-même, cette assimilation n'est pas nécessaire et toute la tbéorie des probabilités continues sera exposée sans qu'il y soit fait explicitement allusion.

217. Afin d'obtenir l'unité indispensable pour la classification des différents problèmes, nous ramènerons ceux-ci à un seul type, en supposant toujours qu'ils se ra[)portent ii un jeu.

Lorsqu'un problème n'est pas explicitement relatif à un jeu, on peut le considérer cotnme cas particulier d'un problème relatif;» un jeu.

Sans chercher la preuve de ce principe dans la suite de cette étude, il suffit de remarquer que si, dans un problème, il s'agit par exemple

uniquement des probabilités /;|,/;o on augmente la généralité de

ce problème en supposant qu'il chacune des probabilités corresponde un gain ou une perte a,, aj, . . .. Le problème proposé n'est que le cas particulier pour lequel a, = a^ = . . . = i .

La théorie des probabilités continues, pour être générale, devra donc être une théorie générale du jeu.

218. Nous imaginerons un jeu fictif, continu, tel que, s'il doit être joué a parties, les gains ou les pertes des joueurs à la ij.'*'""' partie soient supposés continus. Les probabilités s'exprimeront par des fonctions continues et enfin la quantité u. sera continue elle-même.

Lorsque nous parlerons de la pi'""'' et de la ([J1.-1- i)'™'' partie, il faudra entendre que, dans le second cas, u. est remplacé par ;jl -i- d[j..

Ce que nous appellerons les conditions du jeu pour une partie, ce sera l'ensemble des variations possibles des gains ou des pertes des joueurs entre a et u 4- du..

Pour bien comprendre la continuité de la quantité a, il suffit de la considérer comme désignant le temps (comme dans la théorie de la spéculation qui sera exposée plus loin). On supposera le jeu continu et deux parties seront séparées par l'élément de temps c/ii..

219. On conçoit aisément les avantages qu'on peut tirer de la consi-

CALCUL DES PROBABILITÉS. l55

dération de ce jeu fictit' : sa théorie est absolument indépendante de celle des probabilités discontinues, elle est mathématiquement exacte et ne procède ni par approximations ni par tâtonnements: elle permet, pour toutes les questions, l'emploi du calcul infinitésimal: ses formules sont simples et expressives et absolument générales.

Les problèmes dont s'occupe cette théorie se succèdent dans un ordre logique, d'après une classification méthodique ; les calculs qu'ils nécessitent sont simples et leurs résultats peuvent presque toujours se traduire immédiatement en chiffres par les tables de Kramp qui sont reproduites à la fin du Volume.

En résumé, les principes cjui servent de base à cette étude peuvent se ramener à deux conceptions : la supposition de la continuité et la réduction de toutes les questions à un type unique.

220. Classification des probabilités. — Les conditions du jeu peuvent être identiques dans chaque élément du. ou, si l'on veut, à chaque partie; on dit alors que le jeu est uniforme ou qu'il v aimiformité.

Les conditions peuvent être variables d'une partie à l'autre suivant une loi donnée d'avance dépendant uniquement du rang occupé par cette partie et indépendante des faits antérieurs à cette partie. On dit alors qu'il y a indépendance.

Lorsque les conditions relatives à un élément r/u, ou si l'on veut à la ul"^""' partie, dépendent des faits qui peuvent se produire antérieurement, on dit qu'il y a connexité.

221. On peut établir la classification en se plaçant à un second point de vue : s'il y a n joueurs, le problème dont on s'occupe peut être relatif à la détermination des gains de un, de deux, . . ., de n — I joueurs. On dit alors que les probabilités sont à une, deux, ..., n — 1 variables.

222. Une troisième classification est également indispensable. Lorsque toutes les variables peuvent prendre toutes les valeurs de — C30 à -H 3c les probabilités sont dites du premier genre. Lorsqu'une des variables est limitée dans un sens, les probabilités sont dites du

l5() I.. ItACIIF.LIER.

second genre. Lorsqu'une dt's variables est limitée dans les deux sens, les probabilités sont du troisième gent-e.

Les |iii)l)al)ilités sont des genres supérieurs quand deux ou plusieurs variables son! limitées.

22.'î. Si le lecteur éprouvait quelque diiriculté à saisir les débuts de cette théorie, il pourrait, comme je l'ai déjà remarqué, remplacer la variable y-ijui exprime une suite de parties par le temps / et considérer chaque partie comme l'intervalle de temps élémentaire r//. I>a notion (le temps, familière à tous les mathématiciens, peu! rendre cette étude beaucoup plus expressive.

Si. sons cette forme, la théorie paraissait encore trop abstraite, on pourrait débuter par la théorie de la spéculation exposée au (Chapitre XII. Dans cette dernière théorie, la plus saisissante el la pins claire du calcul des probabilités, la notion de temps s'introduit nécessairement. La théorie de la spéculation peut servir d'introduction ii la théorie des probabilités continues à laiiuelle elle a donné naissance.

224. Avant de débuter par l'étude des probabilités du premier genre à une variable, remarquons une fois pour toutes que, dans ce qui suivra, ce sera toujours la perte d'un joueur que nous considérerons comme positive; un gain sera pour nous une perte négative et s'exprimera par un nombre négatif.

22.). Probabilité élémentaire. — Bien que ce Chapilri' ail pour but l'élude des probabilités uniformes, nous établirons les formules fondamentales sans supposer l'uniformité.

Si le cas où il y a uniformité présente, au point de vue des résultats, une telle importance que nous devions lui consacrer deux Chapitres, il ne présente, au point de vue de la détermination des formules principales, aucune réelle simplification, du moins dans le cas d'une seule variable et des probabilités du premiergenre. Nous résoudrons d'abord le problème suivant :

226. Le joueur A qui possède une somme infinie doit jouer a parties; quelle est la probabilité pour que sa perte soit xt

CALCUL DES l'UOI'.ABILITF.S. ID^

Nous supposerons l'indépendance mais non l'uniformité; alors la probabilité pour que, entre les parties u.^, a^, il se produise une perte y, ne dépend que des quantités u.^, u-p,.v, elle peut donc être représentée par cïji^. ,ij, y dv. (Si nous supposions l'uniformité, la [)robai)ilité ne dépendrait que de a^t — u.;j, v. Nous ne ferons pas cette hypothèse.)

Soit cJo.ii.x dx la probabilité pour que la perte soit j; à la a'*'"'' partie (c'est-à-dire pour que, à cette partie, elle se trouve comprise entre jc etx-t- dx).

La probabilité pour que la perte soit a^, à la a ,''""■ partie est cTo.ji,,j;,r/a7.

La probabilité pour que la perte soit jc à la a"''"'' partie, ce te perte ayant été .r, à la ;-'-,'''""', est. en vertu du principe des probabilités composées,

La probabilité de la perte a: à la u.'""*' partie s'obtient, d'après le principe des probabilités totales, en intèijrant l'expression précédente pour toutes les valeurs de J7, de — x;;i -h 3=. Cette probabilité a aussi pour expression us^^^^dv, on a donc

Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la probabilité élémentaire du premier genre ûsdx, elle doit être vérifiée quels que soient m, et a.

Lorsque u. — a, tend vers zéro, la probabilité pour que la perte y correspondant à cet intervalle soit comprise entre — a et -><-h doit tendre vers un, quelque petites que soient les quantités positives a et h. On doit donc avoir

Imiile / rou.,,!J,..) « >■ = ' pour p. — jx, = o.

Vil . L'analyse qui permet de déduire des équations précédentes l'expression de la probabilité cî sera exposée plus loin dans les Chapitres relatifs au rayonnement des probabilités et aux probabilités à plusieurs variables: nous nous contenterons de faire connaître ici la

l58 I.. ItACIlKLIF.R.

solution lie ces équations, elle est

r<fn).),ni.

e (lôsiiTiianl l:i ciiracIcrisrKuii' des loi^aritlinics népériens.

On pi'ul vcrilier qui' celte expression satisfait aux équations conditionnelles ci-ticssus; la vérification repose sur l'égalité connue

elle ne présente aucune dil'liculté.

La probabilité a donc bien la valeur exprimée ci-dessus; ']/'((/.) et <p'(jx) sont des fonctions arbitraires (dont la seconde est positive); ce sont ces fonctions supposées données qui caractérisent le jeu dans l'intervalle r/u. ou si l'on veut à u."""' partie.

228. Nous écrirons simplement comme suit l'expression de laprohahililé élémentaire du premier genre, ou probabilité pour que la perte soit X h la a''"" partie,

-■fJ-x-

v/ttvVÛ^

et nous considérerons les fonctions •]/ et ©comme arbitraires en tenant compte quand besoin sera de leur propriété additive; les fonctions •|(a) et o{u.) ayant respectivement pour expression

la valeur de ces fonctions pour a parties est la somme des valeurs de ces fonctions pour cliacune des a parties considérée isolément. La seconde intégrale a tous ses éléments positifs, donc ^ ([x) va sans cesse en croissant avec u..

CALCUL DES PROBABILITÉS. iSg

229. Il est facile de reconnaître ce que représentent les fonctions «p et 'h. Le gain moyen, ou espérance mathématique totale, est

xe *""

Posons

rf/'.

l'intégrale devient