VIT •>'-« V

La première intégrale est nulle, la seconde a pour valeur \- ; on a donc .L' = 'J'([a).

La fonction '\) est donc l'espérance mathématique totale. La valeur moyenne des carrés des pertes est

Posons

v'?(f) L'intégrale devient

La première intégrale a pour valeur yi^, la seconde est nulle; pour obtenir la troisième on ditférentie par rapport à a la formule connue

ce qui donne

On a donc

y/ 71 ^ « ia\Ja

d'où

9(fx) = 2(E^-t^).

l(')(> L. ItAf.IlKLIEU.

La probabililr de la perte x à la a"'""' partie a pour expression

(C + ry

\Pit\,/-}.(,vj—r-)

l l'Iant la valiMir iiioycniie des gains et VJ la valeur moyenne des carrés des pertes.

La quantité ^fu^), pour des raisons qui seront exposées plus loin, est appein' la foririion <t' Instahititi' : elle est éi^^ale, d'apr(>s ro qui précode, au double de la dillcrence entre la valeur moyenne des carrés dos portes e( le carre de la moyenne des pertes. Nous avons vu (n''22S) (in'olio ost constamment positive ot croissante ot qu'elle se forme par addition.

i'-\(). Applications. - Les formules qui précèdent sont rigoureusement exartos en admettant, comme nous l'avons supposé, la continuité de la (juanlité u..

Ces formules pourront donc être utilisées pour résoudre des problèmes d'un ordre de difficulté plus élevé et elles auront en outre l'avantage de s'applicpier immétliatement aux cas où la variable ;j. est réellement continue (ce qui a lieu, par exemple, dans la ibéorie de la spéculation).

Ces cas ne sont pas ceux (|uo l'on rencontre d'ordinaire dans la réalité : en générai, puisque nous ramenons toute question à un jeu, on ost conduit, dans les applications, à considérer des jeux discontinus.

Nous avons vu que, dans cette hypothèse d'un jeu discontinu, la probabilité pour que la perte d'un joueur A ait pour valeur r en u. parties (le mot partie reprend ici son sens ordinaire) s'exprime exactement par des formules discontinues contenant des factorielles.

Il ne peut alors exister de formules continues (relativement à [a) «faisant connaître la solution exacte du problème; mais si le nombre -j. des parties est très grand on peut, comme approximation, assimiler ce nombre à une variable continue afin de pouvoir appliquer au problème considéré notre dernière formule dont la suite de celte étude montrera tous les avantages.

Le résultat ne pourra être rigoureusement exact, mais il sera d'autant

CALCUL DES PIlOnAItlLlTES. l(il

]ilus approché que le nombre des parties sera plus grand. En efFet, le nombre des parties augmentant indéfiniment, on se rapprochera de plus en plus de la réalisation de l'hypothèse de la continuité absolue.

Les formules continues, lorsqu'elles sont appliquées à des jeux discontinus, sont dites asymplotiques . On veut exprimer par ce terme qu'elles font connaître des valeurs qui se rapprochent indéfiniment des valeurs exactes lorsque ;j. croit à Tinlini.

Dans cette étude, nous considérerons donc deux genres de formules : les unes continues et rigoureuses, les autres approchées et asymptotiques provenant de l'applicalion des premières aux cas où il y a en réalité discontinuité.

231. Les formules asymptotiques ne sont autres que les formules continues dans lesquelles on remplace les quantités i" et E- par leur valeur déduite des conditions du jeu considéré.

Les quantités >L' etE- — i"- s'expriment facilement d'après les données du problème, c'est-à-dire d'après les conditions du jeu à chaque partie.

Le gain, pour a parties, est la somme des gains des \j. parties considérées isolément. La quantité c!', qui est la valeur moyenne des gains pour les u. parties, est donc la somme des valeurs moyennes des gains pour chacune des [x parties considérée isolément.

La quantité E- — t", différence entre la valeur moyenne du carré d'une somme et le carré de la valeur moyenne de cette somme, est égale (n" 26), puis([ue les parties sont indépendantes, à la somme des quantités analogues pour chacune des a parties considérée isolément.

On peut exprimer ce fait en disant que l'espérance totale >;; et la fonction d'instabilité 2(E-— t-) possèdent la propriété d'addition, qu'il y ait continuité ou non.

La probabilile pour que la ptrte soit x à la u.""" parlie est donc

s/7r4/.V(EJ-

-dx;

\b-2 i.. liAr.IlKI.IKR.

Ci ost l'espérance malliciiiati(|iie ou valeur luovenne du gain de la i'"'""