partie considérée isolémiMit

E' est la valeur moyenne dt's carrés des pertes de la i'"''"* partie considérée isolément.

Cette l'orniule est aualoi^ue à celle du n" 227 mais elle n'est qu'approchée alors que celle du n" 227 est exacte.

Comme dans le cas où il y a continuité, on peut désigner, dans le cas considéré, l'espérance inathéinafique «i", par ■]/, et la fonction d'instabilité ii(E"] — >!',") par ç.,; la formule précédente s'écrit alors

(Ix.

Il doit être entendu une fois pour toutes que, chaique fois que les éléments c^' (a) fh. et b' (^j.) d^i. seront remplacés par des quantités tinies et les intégrales o(u.) et '!'(".) par des sommes, les formules ne seront qu'approchées et applicables seulement dans le cas où le nombre (les parties est très grand.

La formule précédente montre que la probabilité est indépendante de l'ordre des parties.

232. Si, par exemple, à chaque partie, deux alternatives sont seules possibles; si à la i"""^ partie le joueur a probabilité p, de gagner la somme a, et probabilité ^, de perdre la somme p,, on a

£,• = a, /A — P,<7/, K? = «?/>,-!- .3; 7,, d'où

E| — CJ=.p,q,{(x,-\- ^,)-.

la probabilité de la perte r en [j. parties est alors

[^ia,.p.-{i,v/i, + .r]'

zdx.

\/r.\/2l(Jiqi(c.i-i-fi,)'-

CALCUL DES PROBABILITÉS. lf)3

233. On peut supposer aussi qu'une infinité d'alternatives soit possible à chaque partie; que, par exemple, à la «'""'' partie il y ait probabilité C,(y)r/j' pour que le joueur perde une somme y; y pouvant par exemple varier de — £, à + t', . On a alors

234. Nos formules sont mathématiquement exactes en supposant a continu; il y a un cas où elles sont encore exactes lorsque a est discontinu.

Si, pour chaque partie, la probaitilité de la perte y est donnée par une expression de la forme

la probabilité pour que, en a parties (u. étant un nombre quelconque, grand ou petit), la perte soit j^ est exactement

C'est ce que montre l'analyse du n° 227.

235. Cas où il y a uniformité. - On dit qu'il y a uniformité lorsque le jeu est constamment identique à lui-même. Les fonctions '.|/([/.) et s(;j.) qui caractérisent le jeu sont alors do la forme ij/(a) = ui.'|/, et o( u.) = ao,, '\l^ et -p, étant des coefficients qui désignent l'espérance et la fonction d'instabilité correspondant au cas où a = I. L'unité adoptée pour la variable p. peut être quelconque.

La probabilité pour que la perte soif x à la a""""' partie, c'est-à-dire \di probabilité éUmeitlaire du premier genre, est donc exprimée par la

unit'oi'iiiilc, (Hie le jeu est car

liiiM (riiistalnlilé o, relalivcs à iino [lartie.

■2'.i6. Si a est disi-ontiiiu, la roriiuile du ii"23l fait connaître la valeur approchée et asvniploti(jue de la probabilité pour que la perte soit X en a parties : c'est

c, désignant la valeur moyenne des gains (ou espérance mathématique) et E'^ la valeur moyenne des carrés des pertes pour une partie.

Cette dernière formule ne doit être appliquée que si [j. est un grand nombre.

On peut désigner t, par -^i,, 2 (E'-, — c') par 5, et employer dans les deux cas la formule du n" 23.5 en se rappelant qu'elle est exacte ou approchée suivant que a est continu ou discontinu.

237, Si, par exemple, à chaque partie, deux alternatives sont seules possibles, le gain x de probabilité p et la perte j3 de probabilité q, on a

La perte x a donc pour probabilité

g «H/w/ia-i-pi»

:dx.

\^\Jlixpq{'j.-^ (3)2

CALCUL DES PROBABILITÉS. lG5

238. On peut supposer aussi qu'une infinité d'alternatives soit possible à chaque partie; que par exemple, à chaque partie, il y ait probabilité 1^ (v)rfv pour que le joueur perde une somme y;y pouvant, par exemple, varier de — s, à + i.,. On a alors

239. Cas où il y a symétrie. — Lorsque le jeu est équitable, i, = o et la probabilité de la perte r a pour valeur

V'7TvV?l

-dx

Si l'on change r en — x, cette formule ne change pas. Donc. lorsqu'il y a continuité, le fait pour un jeu d'être équitable a pour conséquence la symétrie de la probabilité.