Écart quadratique. On nomme écart moyen quadratique
i68 1.. itAcma.iKU.
la racine carrée «le l;i iiinvciinc des carrés des écarts
VT \/fi9, y v'2
L'écart quadratitjue est proportionnel à la racine carrée du nombre des parties .
Si l'on compare ce icsiillal à celui (jui a été oliloiui au n" 2'iU, on voit que l'écart (juadralique correspond aux points d'inllexion de la courbe de probabilité.
245. Écart probable. — C'est l'écart qui a aulant de cliances d'être on de ne pas être dépassé à la [ji.'''™° partie, sa valeur x vérifie donc l'équation
on en déduit
ar = 0,4769... VV?!-
L' écart probable est proportionnel à la racine carrée du nombre des parties.
Le rapport de l'écart probable à l'écart moyen est o,84(J3.
246. Écarts isoprobables. — Pins généralement, considérons un intervalle ± .v tel qne la probabilité pour que l'écart soit inférieur à x soit égale à une quantité donnée u; on doit avoir
L'intervalle ±x est proportionnel à la racine carrée du nombre des parties.
Les écarts croissent proportionnellement à la racine carrée du nombre des parties.
En valeur relative ils décroissent donc et tendent vers zéro.
La fonction ao, dont la racine carrée mesure l'amplitude des écarts est nommée pour cette raison la fonction d'instabilité relative aux u. parties, ç, est la fonction d'instabilité relative à une partie.
247. Cas général. — Lorsque le jeu n'est pas supposé équitable, la probabilité pour que la perte soit .r à la a'*""" partie a pour valeur (n''23Ô)
I [J.i, + -ii''
Wji.a- ^ — il-X.
C'est la probabilité élémentaire du premier genre. La probabitilé du premier genre 'î^^^ est la probabilité pour (|iie, à la a''"'" partie, la perte soit supérieure à a?.
On a donc
En posant
-dx.
[J^iJ^ >
on a
2 V/7I-^pV,-t-r
Si m.'|/, + X est positif, on peut écrire
Si u|, + j? est négatif, on a
e->' cTk.
La probabilité du premier genre T^^r se calcule donc toujours aisément par les Tables de la fonction
0(..) = 4= / e-y-dv,
qui sont reproduites à la fin du Volume. Si, par exemple, u.'}, -hx est positif, on a
170 I.. llAC.HKI.IEn.
248. L;i probabilité totale de perle correspond à .r = o, elle a pour valeur
si le jeu est avantai^eux, e'es(-ii-din' si l, est positif. Cette probabilité tend vers zém (|uaiiil u. auginenle indéfiniment.
Si. au contraire, le jeu est désavantageux, ']^, est négatif et la probabilité totale de perte,
tend vers l'unité quand n augmente.
A la longue, un jeu avantageux conduit nécessairement à un gain, un jeu désavantageux conduit nécessairement à une perte. Ces résultats sont évidents.
249. Revenons à la probabilité élémentaire, c'est-à-dire à la probabilité de la perte x, elle a pour expression
dx.
La perte la plus probable est celle qui rend maxima cette expression : c'est donc la perte x telle que
/jnj;, + a; =0; d'où .r=i— pu);!-
La perte probable est définie par l'égalité ^S^^x=^ -> dont on déduit La valeur moyenne de la perte x est par définition (n" 229)
dx = —\t.<i^^.
CALCUL DES IMlOBAItlLITES. l'y!
250. Ainsi la ([uaiitité — [jl|, est en même temps la perte nioveunc, la perte probable et la perte la plus probable.
En représentant les antres |)ertes par lenrs difTérences x' à la jxTte moyenne, on a
La probabilité relative à x' est par suite
—j= — dx' .
v/7r\/f^cp,
La distribution des probabilités de part et d'autre de la probabilité maxima, lorsque le jeu n'est pas équitable, suit donc une loi analogue k celle qui est relative au cas des jeux équitables.
Tout ce qui a été dit sur les écarts et la représentation géométrique des probabilités est applicable aux jeux non éqnitables à la condition de prendre la probabilité uiaxima pour origine. Par exemple, la courbe de probabilité, en même temps qu'elle se déforme suivant les lois que nous avons étudiées, est animée d'un mouvement d'ensemble qui est uniforme si la variable [x est assimilée au temps. .
Ainsi en résumé : , ,
La perte moyenne ■ . . .
est proportionnelle au nombre des parties jouées ; les écarts en plus ou en moins sont proportionnels à la racine carrée du même nombre.
Les écarts diminuent donc relativement à la perle moyenne
251. Étude de l'espérance mathématique. — L'espérance mathématique totale a pour expression ( n" 229)
iPVi
V'uvf^tp,
dx=iii.'\i^,
elle est proportionnelle au nombre des parties jouées, résultat évident. Supposons que le jeu soit désavantageux, .!;, est négatif, l'espérance
positive ost
En posant on a
1,. n.\r,iiF,i.iK.n.
vV?.
ou. (Ml effectuant la piNMiiine intégration,
tx..i;
\\pK
y/TT
ou encore
t^ette dernière formule permet de calculer facilement l'espérance positive £'.
L'espérance négative tL" s'obtient par la formule
t"= £ — ;:'= fil);,— i''.
2."')'2. La valeur moyenne relative du gain, c'est-à-dire la valeur movenne du gain quand gain il y a, est égale au quotient de C' par la probabilité pour qu'il y ail gain (n°248); cette valeur moyenne est donc
i LqÎ-'^'^-
La valeur moyenne relative de la perte est de même
CALCUL DES PROlJAlilLITÉS. I^S
