Revenons à l'espérance positive

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Cette espérance part de zéro avec a, elle croit ensuite jusqu'à un certain maximum et, u. tendant vers l'infini, elle tend vers zéro.

Lorsqu'un jeu est désavantageux^ si l'on considère un nombre de plus en plus grand de parties, l'espérance positive finit par décroître, même en valeur absolue, et elle a pour limite zéro.

La valeur de l'espérance positive d'un jeu avantageux tend, lorsque a croit indéfiniment, vers la quantité u.'^,.

2.54. Lorsque le jeu est équitable, 1, = G, toutes les formules précédentes se simplifient, l'espérance totale est nulle, les espérances positive et négative ont pour valeur absolue

elles sont proportionnelles à la racine carrée du nombre des parties. La valeur moyenne relative du gain ou de la perte est

Si, par exemple, à chaque partie, deux alternatives sont seules possibles, le gain a de probabilité p et la piM'te [^ de probabilité q, les espérances positive et négative ont pour valeur absolue

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elles sont proportionnelles au produit des mises.

255. Quelques exemples. — Supposons que, pour chaque partie, un joueur ait une chance sur dix de gagner et neuf chances sur dix de perdre.

Il joue I fr par partie, et s'il gagne il touche 9 fr (son bénéfice est

174 I-. BAC.IIEL 11.11.

de 8 l'r puis(|ue sa miso est de i fr). Dans le jeu considéré (n" 237) on a donc

lO 10

L'espérance positive pour une partie est — ou 8o', l'espérance négative est — ou 90''.

La perte moyenne pour une partie est donc lo*'.

■25G. Supposons maintenant que l'on joue deux parties; la probabilité de les gagner toutes deux est p" = — .le bénéfice correspondant

est 16 IV. La probabilité de gagner une partie est '^pq^= — > le bénéfice correspondant est 7 fr; enfin le joueur a 81 chances sur 100 de perdre les deux parties.

La probabilité totale de réussite est 1- — = — ^, elle a donc

augmenté.

L espérance positive est 1 = L espérance négative est

= L'espérance totale du jeu a donc pour valeur — 20*^.