CHAPITRE VI ï
THÉOHIE DES ÉPREUVES RÉPÉTÉES LMFORMES.
259. Le terme épreuves rèpétécx n pour nous un sens spécial : nous disons qu'un problème est rfilatif à des épreuves répétées quand il n'étudie explicitement (jue des probabilités ou, en d'autres ternies, (juand il ne consiste pas à traiter une (juestion explicitement relative à un jeu.
'260. La probabilité d'un événement est p : quelle est la probabilité pour que l'événement se produise z fois en ij. épreuves ?
Supposons qu'un joueur A perde i fr chaque fois que l'événement se produit et qu'il ne perde rien quand l'événement ne se produit pas. La probabilité pour que l'événement se produise r t'ois en [j. épreuves est la probabilité pour que le joueur perde z francs en jouant [A parties, probabilité qui est exprimée par la formule (n° 235)
dz.
Dans le cas considéré
2(Ej— ^^•;)= l{p — [f-) — 'ip(],
en posant
La probabilité pour que l'événement se produise z fois en [ji épreuves
CALCII. l)r,S l'ROBAlilLlTÊS.
est donc
:rf;.
Il faut reinar({uer que cette l'ormulc établie en supposant la continuité n'est applicable que si a est un grand nombre.
261. La valeur la plus probable du nombre des arrivées de l'événement est u.p.
La valeur movenno du même nombre
- dz = ,U/).
La valeur probable du même nombre est encore u.p. En eiïet. si, dans l'intégrale
J.. V/tt'
dz.
on pose elle devient
- [i.p ^^ ^ 2 'i-pq t..
262. La valeur u.p est la valeur moyenne, la valeur probable et la valeur la plus probable du nombre des arrivées de l'événement. iNous représenterons les autres valeurs par leur différence à it.p; nous poserons donc
zrr^ixp -h r.
La probabilité pour que z soit compris entre z et z-hdz étant
\fK\Jiii.pq
la probabilité pour que x soit compris entre x iiix^dx est
178 •■• llAt.IlKLIEK.
La quantité a; est dite l'ecrt//. La dernière formule exprime la pmbabilité pour que l'ocart soit 4- >i" ou jxiui' qu'il soit — x. La probal)ilité pour ([ue l'écart soit ±x est le double de la (juaulité précédente.
Eu résumé :
La prohabilité d'un événement étant p, i hypothèse la plus probable en faisant u. épreuves identiques correspond au nombre u.p d'arrivées de cet événement.
Lit probabilité d'un écart .i\ c'est-à-dire la pro\>abiHtè pour (pie le nombre d' arrivées de cet événement soit compris entre <xp-\-xet ^p + .v-\-dx est exprimée par la formule
dx.
263. Probabilité totale. — La formule qui fait connaiire la probabilité (les écarts est analogue à celle (jui est relative aux jt'ux équitables; elle est susceptible delà même représentation géométrique (n"240).
La probabilité pour que l'écart soit compris entre zéro et x est
^ dx.
En posant l'intégrale devient
2 sJ-kJ^ 2 y^^i^pq ,
Telle est l' expression de la probabilité pour que l'écart soU compris entre zéro et x.
La probabilité pour qu'il soit compris entre ± x serait
Cette probabilité tend vers zéro lorsque \i. augmente indéfiniment.
