La probabilité
^i'Ht-pt/
pour que l'écart soit plus grand (|ue x { dans un seul sens") croit constamment avec a. Si a était infini, elle serait également à -> résultat évident.
26.5. Écart moyen. — Ou appelle écart moyen la valeur movenne de l'écart considère en valeur absolue, c'est-à-dire la quantité
cLr =: - — ^:=— i = 0,0642. . .\ ^y/tq.
\-\.'.IJ.j'Cj \It.
L'écart moyen est proportionnel à la racine carrée du nombre des épreuves.
266. Écart quadratique. — L'écart moyen quadrafi(iue est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts :
.dx
\Tl\'l[Lpcj
:^^ ^\lJ.pq.
L'écart quadratique est proportionnel à la racine carrée du nombre des épreuves; il correspond aux points d'inllexion de la courbe de probabilité
\Fk\l-i\>-pq
267. Écart probable. — C'est l'écart qui a autant de chances délre ou de ne pas être dépassé ; sa valeur x vérifie l'équation
on en déduit
2 \si\l-pql
X = 0,47693. . .\/2ixpq.
liSo I,. ItACIlELIF.R.
L'écart probable est pniporuonncl à la racine carrée du nombre des épreuves.
1.0 r;i|i|)or( do l'ocarl [irolialilc à rocarl moyen est o,84G3.
26S. Écarts isoprobables. — Plus iiciu'raloniL'iit coiisidéroiis un intervalle ±x (el (|ni' la prohaliililé pour (|ui' l'écart soit inférieur à x suit égale à une (luantilé donnée // ; i>n doit avoir
l'intervalle ± x' est donc proportionnel à la racine carrée du nombre des épreuves.
Les écarts croissent proportionnellement à la racine carrée du nombre des épreuves. En valeur relative ils décroissent donc et tendent vers zéro.
C'est, du moins dans son esprit, le théorème de Jacques Bernoulli. On énonce généraiemenl ce théorème en disant (jue, le nombre des épreuves croissant indéliniment, le nombre des arrivées de l'événement s'écarte relativement de moins en moins de sa valeur la plusprobal)le [xp.
269. Ce qui précède permet de se former une idée absolument nette de la variation des probabilités.
Qu'il s'agisse d'écarts relatifs à la théorie des épreuves répétées ou à la théorie du jeu, la distribution des probabilités est représentée par la courbe
v/ttv/f^
La quantité [x croissant, l'ordonnée maxima de la courbe diminue proportionnellement à va. Les écarts isoprobables, c'est-à-dire ceux qui contiennent toujours la même aire, croissent proportionnellement à \ a. Les points d'inflexion de la courbe s'écartent proportionnellement à \ a.
Les ordonnées de la courbe tendent constamment à s'éealiser, et la
courbe devient presque parallèle à l'axe des x et infiniment proche de cet axe quand \j. augmente indéfiniment.
Si le jeu n'est pas équitable, la courbe de probabilité se déforme toujours de la même manière, mais elle est en même temps animée d'un mouvement de translation le long de l'axe des jj. Ce mouvement est uniforme si l'on assimile la variable \x au temps.
ciiAPrmE Yiii.
FH0BAI51l,Hi:S CONTINUES NON UNIFOIIMES.
270, Reprenons le cas de non-uniforniitL'; la probabilité de la perle X en [X parties est exprimée par la formule (228)
exacte lorsque u. est continu.
Lorsque [a est discontinu, la prdhabilité de la perte x a pour valeur approchée (n° 231)
:dx.
271. Cas où il y a symétrie. — Le jeu peut être équitable dans son ensemble; il sui'iil pour cela que '|(p^) soit nul. Si à tduKiue partie le jeu est équitable, il est nécessairement équitable dans son ensemble.
La probabilité de la perte x a pour valeur
zdx.
s/r.sf^nT)
Si l'on chantée./; en — ./•, la rornnile no change pas; donc, si l'on suppose la continuité, le fait pour un jeu d'être équitable a pour conséquence la symétrie des probabilités.
CALCUL DES PROHAniLlïÉS.
La variation de la probabilité peut se représenter par la même courbe que dans le cas de l'uniformité (n° 240).
272. La probabilité <£^^,^ pour que la perte soit supérieure à .r ou probabilité du premier genre est
ÇiJJ.
V'îî\/o{|i)
■.dx.
En posant
on a
