Reprenons la formule

qui exprime la probabilité de la pertes. La perte probable est — .|/(a), H. - L 24

iH(') I.. nAr.iiF.i.iF.n.

la perte la plus prohaltlc l'^t — -J^* h*-), et '«' perle moyenne est encore — .{/(UL). Ueprésenlons les autres pertes par leurs dillerences x' à la perle moyenne; nous aurons

la [iroltaluliti' relative à x' est par suite

La (lislrihution des probabilités de part cl d'autre de la probabilité iiiaxinia suit donc une loi analogue à celles que nous avons étudiées précédemment.

La probabilité pour ([ue la perte soit comprise entre rh x est

2 rv'?'!^) . r .r'

cet intervalle x , si la probabilité est constante, varie proportionnellement à la racine carrée de la fonction d'instabilité.

En résumé, le gain moyen est égal à l'espérance mathématique totale; les écarts en plus ou en moins sont proportionnels à la racine carrée de la fonction d'inslahililé.

La racine carrée de la fonction o((x) mesure donc l'amplitude des écarts ou l'instabilité, et c'est de cette propriété que la fonction a tiré son nom.

La fonction d'instabilité formée par addition de cjuantités toujours positives va sans cesse en croissant avec le nombre des parties.

Les écarts de part et d'autre de la perte moyenne vont donc sans cesse en croissant.

Ils croissent à l'infini ou tendent vers une valeur asymptote suivant que 3(|J-) croit vers l'infini avec a ou tend vers une limite.

279. Étude de l'espérance mathématique. — Les problèmes relatifs à l'espérance matbématique se traitent comme dans le cas où il y a uniformité (n° "251 ); l'espérance totale C est '|([Jl). Si le jeu est

CALCUL DES l'ROBABILITÉS. I ij."

désavantageux, l'espérance positive c' a pour valeur L'espérance négative vl;" est

a augmentant indéfiniment, l'espérance positive tend vers zéro si ; ' tend vers l'infini. Si '-^(a) et o(y.)ten(lent vers des limites finies,

l'espérance positive se rapproche indéfiniment de la valeur asvmptote

:■!/(» Il'