If
i4 ■ i4 ~ Il
Dans ce qui suivra, lorsque nous parlerons de la valeur moyenne, il faudra entendre qu'il s'agit de la valeur moyenne absolue.
19. Lorsqu'une (|uantilé a est susceptible de prendre les n valeurs ( rangées par ordre de croissance)
a,. Oj. ..., «/,. «*+,, ..., a„ auxquelles correspondent les probabilités
/'i- Pi Pk- Pk+i Paon dit que la valeur probable de a est comprise entre a^ et 0^+, si l'on a
et
P\^ Pi^- ■ ■— Pk+l >
En termes moins précis, la valeur probable d'une quantité est celle qui a autant decbances d'être ou de ne pas être dépassée.
Dans l'exemple traité précédemment (n° 18), la valeur probable de a est comprise entre — i et -t- i.
20. Il ne faut pas confondre la valeur moyenne ni la valeur probable d'une quantité avec la iialeur la plus probable de cette quantité.
D'ailleurs la valeur de probabilité maxima est toujours une valeur
possible de la quantité considérée; au contraire, la valeur moyenne n'est généralement pas une valeur possible.
Quant à la valeur probable, en dehors du cas des probabilités continues, elle n'est généralement pas déterminée.
21. Si la probabilité d'un événement est p à chaque épreuve, la valeur moyenne du nombre des arrivées de cet événement en ijt. épreuves est u.p.
En effet, si un joueur devait recevoir i fr. chaque fois que l'événement se produit, son espérance, pour chaque épreuve, serait/) et pour a épreuves elle serait ii.p.
Si la probabilité d'un événement est/>, à la première épreuve, yj, à la deuxième, .../>„. à la a''"""', la valeur moyenne du nombre des arrivées de cet événement dans ces u. épreuves est />, -f- /». -t- . . . + p^.
En effet, si un joueur devait recevoir i fr. chaque fois que l'événement se produit, son espérance serait yj, -t- /Jo -+- . . . +/Jfi.
22. Si la probabilité d'un événement est p à chaque épreuve, la valeur moyenne du nombre des épreuves qu'il faut tenter pour que
l'événement se produise est -•
La probabilité pour que l'événement se produise à la première épreuve est p.
La probabilité pour qu'il se produise à la seconde épreuve ne s'étant
pas produit à la première est, en vertu du principe des probabilités
composées,
(\—p)p~,jp.
La probabilité pour que l'événement se produise à la troisième épreuve ne s'étant pas produit à la première ni à la seconde est q-p.
La probabilité pour que l'événement se produise pour la première fois à la «'''""' épreuve est q"~* j»-
La valeur moyenne cherchée est l'espérance mathématique d'un joueur qui toucherait i fr. si l'événement se produisait ii la première épreuve, 2 fr. s'il se produisait à la deuxième. ... « francs s'il se produisait pour la première fois à la n"'""' . La valeur moyenne est donc
p + iqp -\- i (f-p -t- 4 '/ '/J + • • ■ •
12 !.. lUr.IIF.LIKU.
On ramiMii' tacilciiicul n-lic série à des progressions géométriques, sa
valeur est -•
On peut iilileiiir ce l'ésullal |)ar une métliDde plus simple : Soil ii la valeur nKixcinie ihi iioiiilire des epceuves (lu'il t'aul IcMler pour (|uc l'eveiieiuenl de pn)bal)ilité y> se produise, on a
\ln elVel. I;i pii'niière épreuve a nécessairement lieu et ce lait est exprimé pai- le cliin're i. Si, à celle première épreuve, l'événemenl ne se produit pas (éventualité qui a pour probabilité r — p), la valeur moyenne après celte épreuve est encore u; l'égalité précédente est
donc exacte, on en déduit u = -■
•2M. Addition et multiplication des valeurs moyennes. — La valeur moyenne d'une somme est égale à la somme des valeurs moyennes de ses parties, c'est une conséquence immédiate de la définition.
La valeur moyenne relative d'une somme n'est pas éii;ale à la somme des valeurs moyennes relatives de ses parties.
La valeur movenne d'un \)ro(]u\t quarul/cs/acteiii-s sont indépendants est le produit des valeurs moycuiies des facteurs.
Ce principe est même vrai lorsqu'il s'agit de valeurs moyennes relatives. Soient .r etj'deux grandeurs, la valeur moyenne de la première est, je suppose,
et celle de la seconde
leur produit peut s'écrire
Si la valeur a;, de .r n'influe en rien sur la probabilité de la valeur j,-
CALCUL DKS PROBABILITÉS. l3
dey. Pi qi est, d'après lo principe de la probabilité composée, la probabilité pour que le produit xy ait la valeur .r,/,-. Alors la quantité ci-dessus écrite est bien la valeur moyenne relative du produit a; y, puisqu'elle est la somme des produits des valeurs xy par les probabilités correspondantes divisée par la somme des probabilités.
24. Si la valeur Xi de x inlluail sur la valeur v,- de y, la probabilité de ir,.y,' ne serait plus />,y,' et la valeur moyenne du produit ne serait plus égale au produit des valeurs moyennes.
Si, par exemple, y = a;, la valeur a-,- attribuée à x rend nécessaire la valeur x^ attribuée à y, et par suite la valeur moyenne d'un carré n'est pas égale au carré de la valeur moyenne.
25 . La valeur moyenne (Vun carré est toujours plus grande que le carré (le la valeur moyenne.
On a identiquement, puisque '^pi^= i,
2 p-^ï —{y^Pi^i) =2 /'/ i>i. ( ■Xi —■xkY-
Le premier terme est la moyenne du carré, le second est le carré de la moyenne; le second membre étant positif, le premier terme est toujours plus grand (jne le second, c'est ce qu'il fallait démontrer.
26. Propriété additive des moyennes de carrés. — La difTérence entre la moyenne du carré d'une somme de plusieurs quantités et le carré de la moyenne de cette somme possède une propriété remarquable : On a, en désignant par VM la valeur moyenne,
V'M [(x, + .r, -I- . . . + j-^,)-\ — [ VM(x, -h .1-2 + ... + x^)Y
— [(VMxi)^ + ...-+- (VMxjx)M- 2VM.r,VMx,-(-. . .-(- 2V\Ia;^,VMx^]. Si les quantités x^, x.,, . . ., x^ sont indépendantes,
et l'égalité se réduit à
VM (^ V ....y f VM V x,y =y [ VM,r;^ - (VM.r,)'].
I I I.. ItAC.lIKI.lKR.
Le |u-i'iiiifr iiuMiiliro oxpriiuc la ilillcrciico cnlro la nioyoniio du carrt' (i'iiiif soimnc cl le cirn- de la iiKivi'iiiit' de cette somme; le second membre désigne la somme des (jiianlilés analogues relatives à chacune des parties considérée isolémenl.
La valeur moyenne d'une somme esl égale ii la smnine des valeurs moyennes de ses parties; c'est ce qu'on peut exprimer en disant que la valeur movciine possède la propriété d'addition, l/.i valeur moyenne du carré iliminuée du carré de la valeur inoyerine possi'de la même propriété d'addition lorsque les quantités additionnées sont indépendantes.
27. En particulier (juand plusieurs quaiilitës sont indépendantes et quand leurs râleurs moyennes sont nulles^ la râleur moyenne du carré de leur somme esl égale à la somme des râleurs moyennes des carrés de ces quantités.
En d'autres ternies, dans le cas considéré, les valeurs moyennes des carrés possèdent la propriété d'addition.
Ce théorème est très important; il jtermet, comme nous allons le voir, de se faire une idée d'ensemhic de la transformation des probabilités dans une suite d'épreuves ([uand celles-ci sont indépendantes les unes des autres.
28. Application à la théorie du jeu. — Supposons qu'un joueur A ait, à chaque partie, probabilité /j, de perdre la somme a,, probabilité/j^ de perdre la somme a^, . . . , probabilité/;,, de perdre la somme y.,, (a,, a,, . . . , a„ peuvent être positifs ou négatifs).
Considérons d'abord le cas du jeu équitable, c'est-à-dire le cas où
l'on a
a,/>, -1- x^Pi^. . .-+- ix„p„ = — Ci = o.
C, désignant l'espérance mathématique pour une partie.
Lavalcur moyenne des carrés des gains et des pertes pour une partie ou, si l'on veut, des écarts pour une partie est
«î P> + «2 /'! + .•• + ^-l Pn = E^
Les parties successives étant indépendantes, la valeur moyenne des carrés des écarts en gain ou en perte pour u. parties est, d'après le
CALCUL DES PROKABILITES. l5
théorème de l'addition des moyennes de carrés, égale au pi'odiiit para de la quantité précédente.
En désignant par E- la valeur mojenne des carrés des gains et des pertes pour u. parties, on a donc
E'' = iJ.E\ — li{x\ /*, -+- al /), + ...-(- 0!,-,/5„).
Lorsqu'un Jeu est équitable, la valeur moyenne des carrés fies gains et des perles est proportionnelle au nombre des parties jouées.
Les carrés des écarts croissent donc, dans l'ensemble, proportionnellement à [i. et les écarts croissent, dans l'ensemble, proportionnellement à \ a.
Le théorème de l'addition des mo3'ennes de carrés permet donc de se former une idée imprécise mais générale sur la croissance des écarts.
Nous verrons plus loin que les écarts croissent comme la racine carrée du nombre des épreuves, mais à la condition ({ue le nombre des épreuves soit très grand.
29. Supposons maintenant que le jeune soit pas équitable; la valeur moyenne de la perte pour une partie est
aip, + cx,p.,-h. ..+ c.„/>„ = — f, ; pour u. parties, elle est
lJ-{xtPi-\- a,/),-!-. . .+ c(„p„) = fii"i = ^.
Si l'on forme la quantité
(aj />,-(- 3!! /J., + . ..+ c',p„) — (a, /?,-(- «2/50-4-. ..+ a'.„p„)-=El — >;";,
et si l'on multiplie cette quantité par la, on obtient, d'après le théorème de l'addition des moyennes de carrés diminuées des carrés des moyennes, la dilTérence entre la moyenne des carrés des gains et des pertes pour a parties et le carré de la moyenne des pertes pour ces [JL parties, c'est-à-dire E- — t^; on a donc
FJ-r- = iJ.(E\ -C\);
d'où l'on déduit, puisque è' = u.i',
E-'=lxE-] +ix{ix-i)Cl
ih I,. lîAlMiri.IFR.
l't'lle cs( roxprossion do Li valeur iiioytMinc E' dos carrés dos gains et dos pertos pour a parlios.
30. On se rend mieux compte do la loi diy la docroissanco des gains et des pertes avec le nombre dos parlios en rapportant ces gains et ces pertes à la perte moyenne — .l" : Soit z la porte réelle pour [x parties,
posons
est, pour a parties, la dilTérence entre la porto réollo et la perte ovenne ou, si \'in\ veut, r est l'écart pour u. parlios. Klevaiit au carré l'équation précédente, on obtient
et, en désignant par ViM la valeur moyenne,
La valeur moyenne de 5^ est E^ la valeur moyenne de z est — £, l'égalité se réduit donc à
VM.r»=|ji(E'f— «L-J).
Donc : La porte moyenne est proportionnello au nombre dos parties; la valeur moyenne du carré de l'écart en plus ou en moins est également proportionnelle au nombre des parties.
31. On peut utiliser les mêmes théorèmes sur l'addition des movennes de carrés pour le cas où les parties successives ne sont pas identiques (pourvu qu'elles soient indépendantes).
Supposons (jne, à la partie d'ordre ï, il y ail probabilité j),j pour perdre a,,,-, probabilité p.-,j pour perdre a. ,, . . . , probabilité p,,^, pour perdre a„ ,.
La valeur moyenne de la perte pour la partie d'ordre i est
La valeur moyenne de la perte pour a parties est 1=11 1=11
Soit r. la perte réelle pour a parties, si l'on pose ce est l'écart : la valeur moyenne de x- est
En désignant par E^- la quantité l'expression de la valeur moyenne de x- peut s'écrire
:{'2. Théorème de Bernoulli. — La probabilité d'un événement est p à chaque épreuve, la probabilité de sa non-arrivée est y = i — />. On t'ait ;j. épreuves, la valeur moyenne du nombre des arrivées de l'événement est u.p.
Si l'événement se produit ij.p -+- x fois, on dit que Vécart est x.
Soit m le nombre des arrivées de l'événement, on a
m = fx/) H- a;,
m est nécessairement entier et ;j./j est ordinairement fractionnaire, donc X est ordinairement fractionnaire, m [)eut prendre toutes les valeurs de zéro à [x, l'écart x peut donc prendre les u. 4- 1 valeurs — txp, ~ ap -t- 1, — a/j + 2, . . . , + Ltf/.
Si m est supérieur à tip l'écart est positif, il est négatif dans le cas contraire.
Nous allons calculer la valeur moyenne du carré de l'écart.
Imaginons un joueur A; faisons correspondre chaque partie de son jeu à chacune des épreuves et supposons que, à chaque partie, le joueur A perde une somme cgale à l'augmentation de l'écart ou qu'il gagne une somme égale à la diminution de l'écart à l'épreuve correspondante; la perte totale du joueur en u parties est égale à l'écart en u. épreuves.
1^ L. I1A(.IIKLI1".R.
Supposons ciicon- (|m' l'ccarl soil .r i» rc|iriMiV(' d'unlro tx, nous allmis ctiiilici' les vai'iatiiuis de cet écarl ii rciniMivc suivante.
A celte épreuve, il y a probabililr /^ |)our (|uc révénemenf se produise et, si cette éventualité se réalise, révénement s'étant produit ap -h X -h i l'ois en ;j. -l- i épreuves, l'écart sera devenu x -\- \ — p nu r -)- (f. Sa valeur l'iail précédemment x, elle a donc auiinienlé de la (|nantité q.
il V a ainsi, à l'épreuve considérée, prohahililé /; pour (|ue l'écart au^'nienle de la (juantile y et l'on verrait île même ([u'il y a probabilité c/ pour (|iril (liniinne de la (|uanlilé />.
A chaque partie, le joueur A a donc probabilité/? pour perdre la somme q et probabilité q pour gagner la somme /;. Les parties successives de son jeu sont indépendantes et celui-ci est équitable; la valeur nu)yenne du carré des gains et des pertes est donc (n° 28)
La valeur moyenne du carré de l'écart est donc \>-pq-
Les carrés des écarts croissent, dans l'ensemble, porportionnellenieiit à [X et les écarts croissent, dans l'ensemble, proportionnellement
à va.
Les écarts croissent donc, dans l'ensemble, en valeur absolue, ils décroissent en valeur relative (relativement à \j.). C'est, du moins dans son esprit, le ihéorcme de Hernoidli.
33. On obtiendrait des résultats analogues en supposant les probabilités variables d'une épreuve à l'autre : Soient />,, />., . . . , p^ les probabilités d'un événement à la première, la deuxième, ..., la [j.""'"" épreuve et y, = i —■/»,, ^j = i — yo^» • ■ ■ , q^i^ ^ — fa l''s [)robabilités de l'événement contraire; la valeur moyenne du nombre des arrivées de l'événement en [i. épreuves eslp, -+- p-^-h . . .-\- p^. Si l'événement se produit /j, -t-/)o-l- . . . -h p^,. -h a- fois, on dit que Vécart est x.
Pour calculer la valeur movenne du carré de l'écart, on suppose, comme pour la question précédente, qu'un joueur A perde une somme égale à l'écart; à la /'*■""■ épreuve il a probabilité p, de perdre la somme y,- etjprobabilite y, de gagner la somme pi, la valeur moyenne du carré de ses gains et de ses pertes, c'est-à-dire la valeur moyenne
CALCUL DES PROIiAIilLITÉS. I9
du carré de l'écart est donc
34. Application aux erreurs d'observation. — Lorsqu'on mesure plusieurs Cois, avec soin, une même grandeur, pour fixer les idées une longueur, on obtient constamment des chillres dili'érenls; l'écart qui existe entre la valeur exacte (et inconnue) et la valeur mesurée dans une observation est nommée Verredràe. cette observation.
Nous supposons que les chances d'erreur sont les mêmes pour toutes les observations et que les erreurs positives ont même probabilité que les erreurs négatives; alors la valeur moyenne de l'erreur est nulle.
Soit £- la valeur movenne du carré de l'erreur pour une observation: la valeur moyenne du carré de la somme - des erreurs commises sur a observations est \t.t-.
Lorsqu'on a effectué u. mesures, dans l'ignorance où l'on est de la valeur exacte de la quantité mesurée, on adopte pour cette valeur la moyenne arithmétique des mesures.
Nous n'avons pas à discuter l'ensemble des considérations (pii peuvent militer en faveur de ce choix; l'adoption de la moyenne arithmétii|ue a l'avantage de donner une idée générale du degré d'exactitude du résultat.
Si la moyenne arithmétique des erreurs est r, la somme z des erreurs est u. v; de l'égalité - = ay on déduit
La valeur moyenne de z'^ étant uî-, cette égalité se réduit à
