V.My
Donc : l.a valeur moyenne du carré de l'erreur coinnuse en prenant pour valeur de la quantité mesurée la moyenne arithmétique des mesures varie en raison inverse du nombre des observations.
ao 1.. it.u'.iiKi.ii'.u.
On |i(Mit <liii' iiui', ilaiis l'ciiseinble, rt-rrciii' coiMinisf en adoplant la n'>|jlo lie la iiin\ CM Ml' aritliiii('(i(iue varie en raison inverse de la racine carrée dn iionilirc des (d)scrvalions: celle loi de <lccroissanee peni être précisée, comme nous le verrons, lttis(|ne le nombre des ohservalions est très j^rand.
La valeni' mnvi'nne dn carré de l'iMTciir commise en adoptant la rè^de de la moyenne arilliniéli(inc iliininnerait à l'inlini avec le nombre des observations si, pour (diacnne d'elles en pailiculier, l'i-rreur moyenne était riyiourensemiMil nulle. Celte condition est irréalisable pi'ali(|ui'Micnl.
35. Les exemples précédents sul'lisenl pour montrer (|ue le tbéorèmede l'addition des moyennes de carrés permet d'obtenir d'une façon très élémentaire des résultats d'ensemble sur certaines translormalidus des probabilités. Mais ce théorème suppose essentiellement que les (|uaMlilc> dont on additionne les moyennes d(> carrés sont indépendantes, auli'cment la règle d'addition n'est plus applicable. Il V a donc une dilTérence essentielle enli-e la règle d'addition des moyennes et celle des moyennes de carrés; la première est toujours vraie, la seconde ne l'est que si les (|naiililés considérées sont indépemlanles.
.'{6. Calcul des valeurs moyennes. — On ne calcule pas toujours une espérance mathématique ou une valeur moyenne par la formule (jui sert de délinition
P\('\ + r-iCî-^ IhCi-^ ■ ■ ■■
Dans bien des cas il est plus facile de calculer directement la valeur movenne (|ue chacun des termes dont elle est la somme.
Contentons-nous ici de donner un exemple, la suite de notre étude en fournira beaucoup d'autres.
Lu piobahililé d'un événement étant p, quelle est la iHileur moyenne du nombre des épreuves qu'il faut tenter pour ifue l'événement se produise n fois?
Sdit p^ la probabilité pour que, en a épreuves, l'événement se soit produit précisément n fois, c'est-ii-dire la probabilité pour que l'évé-
CALCIL DES PROBABILITES.
nement se soit produit n — i fois dans les a — i premières épreuves et une fois à la dernière épreuve.
La probabilité pour que, en a — i épreuves, un événement de probabilité yo se produise n — i fois est (n" 42)
/)«-' fjV-'".
(Le symbole r! représente la factorielle 1.2.3.4 ^'- 0" doit
remplacer par i le symbole o!).
La probabilité p^, s'obtiendra en multipliant cette quantité par p puisque l'événement doit se produire à la dernière épreuve, on a
donc
(iut-i)!
^1'- ( /i — t ) ! ( fi — « ) ! et la valeur movenne cherchée est
Cette expression peut s'écrire
Sr-^(--/')^-"
ou encore
ou enfin
np"
{n — i)\ .^^ (il. — n)\ V- = "
■(i-/;)-1 — ' (i—pf
La quantité entre crochets est le développement de
la valeur moyenne cherchée est donc
np"[\ — (I —/j )]-"'+•'= -•
On peut obtenir cette quanlilé par un procédé plus simple : soit «^
22 I • l:\i.m-.l.ll".n.
la valeur iiKtvciiiii' i|ii;iii<l rcvrin'mciits soiil ciicoi'i' allondiis et (|uaiul, par C()nsi'i|ii('nl, u. — .r ('véiicriicMls se sont rciilisés, on a
En encl.a^événenienlséhiiil ;illi'iHliis,la prochaine épreuve iiiii;iiieii- (era néeessairemeiil la valeur iiKiyeiuie iriine iiiiilé. (lelle épreuve ayant lieu, deux cas sont possililes : on révéneiiient se produit et la valeur nuiyenne n'est plus (|ue ii, ,, ou l'evéueiuent ne se produit pas et la valeur inoveuiu' conserve la valeur iij..
La iiii'Miii're evenliialile ayant pour probabilité /^ et la seconde pour probabilité y. l'éciualian (|ui précède n'est que l'expression des principes des probabilités composées et totales. On peut écrire cette équation
on a de niènie
En additionnant ces égalités et en remarquant que «„ est nul, on obtient
Mj étant la valeur moyenne quand a; événements sont encore attendus,
est la valeur moyenne du nombre des épreuves qu'il faut tenter pour que l'événement de probabilité p se produise a fois.
On peut obtenir le même résultat par un raisonnement très simple :
La valeur moyenne pour un seul événement (n° 22) est -•
Quand cet événement s'est produit une fois, la valeur moyenne du
nombre des épreuves qu'il faut tenter pour qu'il se produise encore
une fois est -; la valeur moyenne pour deux événements est donc - et P • ^ P
pour n événements elle est -•
La suite des égalités écrites ci-dessus n'est d'ailleurs que l'expression, sous une forme différente, du raisonnement qui vient d'être employé.
Pour le problème qui va suivre, il semble très pénible d'obtenir la valeur moyenne d'après sa définition; on la détermine au contraire très facilement pour les deux dernières méthodes dont il vient d'être fait usaçe.
37. Une urne cnnlient m boules blanches et n boules noires ; on extrait ces boules au hasard une à une en remettant dans l'urne la boule sortie quanl elle est noire. Quflle est la valeur moyenne du nombre des tirages qu'il faudra effectuer pour que toutes les boules blanches soient sorties.
Désignons par u^ le nombre moyen des tirages à effectuer quand x boules blanches sont encore dans l'urne; on a
En effet, le nombre moyen des tirages comprendra le tirage prochain qui nécessairement aura lieu; puis deux cas pourront se présenter : ou la boule sortie sera blanche et le nombre moyen des tirages sera «x-i- t»u la boule sera noire et le nombre moyen sera u^. La première éventualité a pour probabilité -; puisqu'il y a v boules
blanches et n -\- x boules en tout, la seconde a pour probabilité-^.
L'équation qui précède n'est (jue l'expression des principes des probabilités composées et totales. On en déduit
24 1-- nvc.iii-.i.iKU.
ol. par suite.
"/M- 1 ^f.'ri—i -
"«1 — 1 "/Il -3 '
Rn ailditionnant iM on romarquant que «0 = o, "n a
« -I- 7» n ->r m — I II -i- ni — •?. « -f- i
limon
L 2 3 »jj
38. On peut encore obtenir cette quantité par le raisonnement suivant : lorsque la probaltilité d'un événement est^ (n"22) la valeur movenn(> du nombre des épreuves qu'il faut tenter pour que l'événement se produise est-, le nombre moven des tirages qu'il faut etl'ec-
tuer pour obtenir une j)reniière boule blanche est donc puisque
la probabilité de la sortie de cette boule est
Une première boule blanche étant sortie, la probabilité pour qu'il sorte une seconde boule blanche est , et le nombre des
tirages qui sont nécessaires pour nbienir cette seconde boule est en moyenne
Lorsque la seconde boule blanche est sortie, la probabilité pour qu'une troisième sorte est
CALCL'L DES PROBABILITÉS. 23
et la valeur moyenne correspondante pour le nombre des tirages est
et ainsi de suite.
Le nombre moyen des tirages à effocluer est donc
m -+- Il I» -4-11 — I nt -^ n — 2 n — i
La suite des égalités écrites au n" 37 est l'expression, sous une forme différente, du raisonnement qui vient d'être employé.
39. Valeurs moyennes infinies. — Une valeur moyenne (ou une espérance mathématique) peut, dans certains cas, devenir infinie.
C'est ce qui se produit évidemment lorsqu'il v a une probabilité finie pour que la quantité considérée ait une valeur infinie. Une valeur moyenne ou une espérance mathématique
peut même être infinie quoique p^ tende vers zéro avec \i. si a-,j, suit une loi telle que la série ci-dessus se prolonge indéfiniment et soit divergente.
40. Supposons, par exemple, que le joueur A possède seulement un franc et qu'il joue à pile ou face avec le joueur B infiniment riche à un franc par partie, jusqu'à ce qu'il ne possède plus rien.
Le joueur A a une chance sur deux de perdre son unique franc à la première j)artie, une chance sur huit de perdre finalement à la troisième partie, etc.; la probabilité pour que finalement il perde est un comme nous le verrons.
Imaginons un joueur H qui aurait promesse dé recevoir un franc par partie jouée dans ce même jeu; son espérance qui est par définition la durée moyenne du jeu serait infinie (n"* 159 et 184).
Nous avons donc ici un exemple d'espérance totale infinie.
Cette espérance est la valeur de la série
dont les termes sont relatifs aux probabilités de la perte finale îi la B. — I. 4
2(î !.. I!A( IIKI.Il'.U.
liiiMuit're, à la troisioine. à la ciiKiiiicruf, ... partie (n" 140). Cette série peut s'écrire explicitement
a a' fx — i!jji-i-i!\2
ici tous les (eriiies vont, à pailir il'uii certain rang, constamment en (liniimiaiit.
Dans l'exemple siiivaiil. au contraire, tous les termes, en nombre infini, (jui composent l'espérance mathématique totale sont égaux entre eux.
'i I . On jette une pièce de monnaie autant de fois (|u'il est nécessaire pour (ju'elle montre lace. Le joueur A recevra i'^' si c'est au premier coup que la pièce montre l'ace, 2''' si c'est au second coup, 4*^'" si c'est au troisième, 2""' francs si c'est au ra'"™^ coup.
Quelle est l'espérance matliémaficjue du joueur A?
L'espérance totale est la somme des espérances relatives à chacune des épreuves.
La prohabilité pour «jue la pièce tombe pile au premier coup est -;
l'espérance correspondante est -•
La probabilité pour (jue la pièce tombe pile au second coup est —,
l'espérance correspondante est — x 2 = -•
L'espérance relative à chaque partie est de même -> donc l'espérance totale
est infinie.
Cette sorte de jeu donna lieu autrefois à des commentaires sans fin : on le désigne sous le nom de Jeu de Saint-Pétersbourg . Sa conclusion a été considérée longtemps comme paradoxale parce qu'elle parait en contradiction avec le bon sens.
Le bon sens ne peut être invoqué lorsqu'il s'agit de questions délicates, il ne permet pas de reconnaître si l'aire comprise entre une
courbe et son asymptote est finie ou non, si une série est convergente ou divergente; les indices qu'il peut fournir n'ont souvent aucune valeur lorsqu'il s'agit de quantités qui peuvent croître indéfiniment comme dans le cas considéré.
Le joueur doit recevoir à chaque partie ce qu'il eût reçu à la partie précédente multiplié par deux; s'il devait recevoir la même somme multipliée par 1,999 ^^n espérance serait finie; le bon sens ne fait cependant aucune différence entre les deux cas.
