V-\/fx,o, \/-v/f^3'j(j

dx.

L'intégration est facile lorsque o(a:-)est constant et égal ho, etlors(|ue, de plus, '\{x) a pour valeur ax, a étant une constante.

301. Le cas dont il s'agit pour être particulier n'en est pas moins très curieux, parce qu'il correspond à la question la plus simple que l'on puisse se poser, celle où l'on imagine qu'il existe une cause accélératrice ou retardatrice des écarts proportionnelle à la valeur même de ces écarts.

Si a est nul, le jeu admet l'indépendance, et les écarts sont proportionnels à la racine carrée du nombre des parties.

Si a est positif, à une perte x correspondra une espérance ax positive qui tendra à diminuer cette perte; par suite, les écarts croîtront moins vite que dans le cas où il y a indépendance. Les conditions du jeu ont donc une influence régulatrice.

Si, au contraire, a est négatif, une perte x rendra plus probable une perte plus grande. Les conditions du jeu rendront plus rapide la production des écarts, elles sont accélératrices.

Il est évident que le jeu considéré est équitable dans son ensemble pour cette raison qu'il est symétrique dans son ensemble.

302. La question dont nous allons nous occuper, dans le cas où les conditions sont retardatrices, présente un grand intérêt parce qu'elle fait connaître la loi de variation des écarts quand on suppose que ceux-ci étant infinrmeiit petits sont soumis à une cause régulatrice.

En effet, l'espérance mathématique pour un intervalle élémen- B. - I. 26

3i>.> L. BACHELIEU.

tnire du. est une fonclion «le la perte x et peut se représenter par le développement

Si aucnne cause n'agit coustaiiiuient dans le même sens, Uo est nul et si .V est infiniment petit, la l'ormule se réduit à ■!^(.v) = a^œ.

Dans les mêmes conditions, la fonclion d'instabilité relative à un intervalle élémentaire </(x doit étn- une constante 9, car elle ne peut être qu'une fonclion paire de a?.

La théorie qui suit présente donc un grand inlerél, parce qu'elle régit tous les cas où les écarts sont très petits.

303. Dans l'hypothèse où ■]/(œ) = ax et 9(.r) = o,. l'intégrale devient

■dx.

V^sVi?i V^\//^2?i

C'est une intégrale de la forme

5 A'-lm-

La probabilité de la perte s ii la (a, -t- ^2)'™'" partie est donc

g ç,i|j-,i|i,«-ii'-i-!i.:

■.dz.

elle est de la même forme que (i).

394. Supposons maintenant que jj.;, parties soient encore jouées, le jeu étant défini pour ces u-, parties comme pour les [J-^ précédentes par les fonctions o{z) ^= o, et '\>(z) = az.

La probabilité pour que la perte soit j à la (a, -+- u.r,-\- ['■3)'"'"' partie, la perte ayant été = à la (ijl, ■+- [Xj)'*"" partie est, en vertu du principe des probabilités composées,

/— — , - ,— , dz dy.

CALCUL DES PROBABILITÉS. 2o3

La probabilité pour que la perte soit j à la (a, + u., + ul,)'*'™'' partie

s'obtiendra en intégrant cette expression entre — oo et +3c; cette

probabilité est

ri

] u.,.i - ii'-^|j.3 ;

dy.

?, ; iH-rS'-i" - 1 '-t-H-ii v-3" - i''-^iJ-3 ;

305. Quel que soit le nombre des quantités u.,, a.^, tx^, tx,, ... que nous supposerons toutes égales à Aa et dont nous désignerons la somme par j;., la probabilité de la perte m a pour expression

— =— ^z — d/ii .

La fonction /"satisfait à l'équation de récurrence de sorte que, Aa décroissant indéfiniment jusqu'à zéro, on a

La probabilité de la perte m à la u.'^'"^ partie est donc

et cette expression suppose que, d'une façon continuelle, l'espéi'ance pour une partie est proportionnelle à la perte subie avant cette partie.

.306. La probabilité pour que la perte soit supérieure à r à la unième paj-fie s'obtient en intégrant l'expression précédente entre .r et l'infini : on a donc

^V,x= / -^=dx.

4oa I.. lucinaiF.r..

lui posant

011 olitiont

Cette probabilité se calcule par les Tables de la fonction &{y) = -^ fe-y^dy.

307. La probabilité pour que la perte soit comprise entre ± x est