Ttt
= f e-'"dl.
si nous supposons cette probabilité constante, x varie en raison directe de
i(,e -saji)
cette quantité mesure donc l'aniplilude des écarts ou l'instabilité. Son carré est \2l fonction d'instabilité
?i ZZ >
celte fonction ne jouit pas de la propriété d'addition comme dans le cas où il y a indépendance.
Deux cas sont à distinguer suivant que les conditions du jeu sont retardatrices (a >o) ou accélératrices (a<;o).
Dans le premier cas, la probabilité de la perte x quand u, augmente indéfiniment ne tend pas vers zéro, mais vers la valeur asymptote.
-.dx^
*' la
CALCUL DES PROBABILITES. 20D
l'écart correspondant à une |irohal)ilité donnée croît donc avec u., mais il reste inférieur à uue quantité tixe.
Au contraire, quand les conditions sont accélératrices, les écarts croissent avec une excessive rapidité.
308. Les conditions d'un jeu sont comme précédemment telles que, à chaque partie, l'espérance du joueur soit proportionnelle à sa perte actuelle x et que la fonction d'instabilité demeure constante. Si l'on suppose que la perte actuelle du joueur soit z, quelle est la probabilité pour qu'elle prenne la valeur j? après u.., parties?
Le jeu est défini à chaque partie par la fonction d'instabilité o, et par l'espérance ax proportionnelle à x.
Si la perte initiale est nulle, la probabilité de la perte x en [jl, -i- ix^ parties est (n" 305)
— r/.TJ.
On peut écrire autrement l'expression de cette probaliilité : soit F (jjio, z, x) la probabilité pour que la perte ayant la valeur ;;, prenne la valeur j? en a^ parties.
La probabilité pour que la perte soit = en a, parties et pour qu'elle soit a; en u., -h a, parties est, en vertu du principe des probabilités composées,
Si l'on intègre cette expression entre — 3o et +oc, on obtient, d'après le principe de la probabilité totale, la probabilité de la perte x en p., -I- [Xj parties ; on a donc
— — — I --===^=F(iM.2.z,x)dz
20() I.. n.VOllFXIFU.
Tollo osl l'tMjiialion de rfinHilidii à l;i(|ii{'lliM|(iil salisfairt! la foiiclion F. 309. L'équation est vérifiée identiqueincnt si l'on pose
ia
¥— - dx.
Telle est l'e.rpress'ton de la probabilité ponr que la perte dont la valeur initiale est z prenne la valeur x après ij... parties.
La valeur moyenne de .r est ze'"^'. La valeur la plus probaMe de ne est re""'^». Les probabilités sont symélriques de part et d'autre delà valeur moyenne.
Si uLj augmente indélininient, la disiribution des j)r()babili(és tend vers une loi asymptote représentée par la formule
\fïâe ''
Les formules qui précèdent sont riiioureuses; celles qui vont suivre et qui seront relatives à des probabilités discontinues ne pourront être qu'approcliées.
310. L^ne urne A contient n boules blanches et n boules noires; une seconde urne B contient également n boules blanches et n boules noires. On tire au hasard une boule de A et on la place dans B, en même temps qu'on tire au hasard une boule de B pour la placer dans A. On recommence y. fois la même opération ; quelle est la probabilité pour obtenir un écart a-, c'est-à-dire pour que le nombre des boules blanches contenues dans l'urne A soit n - .r?
Imaginons un joueur II; faisons correspondre chacune des parties de son jeu à chacun des doubles tirages et supposons qu'il perde à chaque partie une somme égale à l'accroissement de l'écart au double tirage correspondant; c'est ce que l'on peut exprimer plus simplement en disant que l'on imagine un joueur H perdant constamment une somme égale i) l'écart. La probabilité d'un écarta; après [j. tirages est la probabilité pour (]ue le joueur il perde la somme x en a parties.
Supposons que l'écart soit x.
Au prochain tirairo. il y a probabilité
pour qu'on tire une boule blanche de A et une boule blanche de B ; alors l'écart conserve sa valeur r.
Il y a probabilité
pour qu'on tire une blanche de A et une noire de B. Alors l'écart devient a; — i; il diminue de i .
Il Y a de même probabilité
n — a: Il
pour qu'on extraie une noire de A et une blanche de B. Dans ces conditions l'écart devient jc-{- i.
Enfin la quantité
exprime la probabilité pour qu'une noire sorte de l'urne A et une noire de l'urne B. Dans ce dernier cas l'écart conserve sa valeur x.
L'espérance mathématique du joueur H relative au prochain tirage quant l'écart est x est donc
[n — xy- ^ {n -H-r)^ x !\n- \n^ II'
elle est égale au produit de l'écart par une constante. La fonction d'instabilité relative au prochain tirage est
Nous supposerons que n et u. sont de grands nombres du même ordre; s'il n'existait aucune cause retardatrice des écarts, c'est-à-dire si les épreuves étaient indépendantes, x^ serait de l'ordre u. (n" 262)
2()S I.. UACiiii iru.
el par cons<''(Hipnt néfjligpable coniparalivciiipiil à [x'-'. Puisque clans le cas actuel il existe une cause (endani à diminuer les écaris, .r" est à plus forte raison iiegligealile coniparalivcnicnt ii a^ ou à n°, et la fonction (l'instaltililé a pour valeur i .
I/espérance Mialliéiuati(|U(> du joueur H ('"tant constauiment proportionnelle ii son t;ain ou à sa perte el la fonction d'iusialiililc élanl constante, on peut appli(|ncr au problème acluol la formule du u";)U5. La probabilité pour que le joueur H perde la somme, x, c'est-ii-dire la probabilité pour que l'écart soit ce en u. tirages, est
311. Nous avons supposé qu'initialement les deux urnes contenaient le même nombre de boules blanches et de boules noires; on peut traiter la même question en supposant une composition initiale (|uelconque, chacune des urnes contenant toujours 2« boules.
Soit r- l'écart initial; la probabilité pour (|ue l'écart prenne la valeur a- en [x épreuves est exprimée par la formule du n" 3U9, où l'cju doit
lemplacer a par - et ©, par i. Cette probabilité est donc
-.dûs.
Cette formule suppose que l'écart initial :; est assez petit pour que z^ soit négligeable comparativement à «-. S'il en était autrement, la fonction d'instabilité dépendrait de l'écart et notre analyse ne serait plus applicable.
312. L'urne A contient m boules blanches et n boules noires; l'urne B m' boules blanches et n' boules noires; à chaque épreuve, on tire une boule
de A el on la place clans B, en même temps qu'on tire une boule de Bpour 1(1 placer dans A. Quelle est la prolxdnlilé pour que ^ après il épreuves, les urnes A et B aient une composition donnée?
Ce problème est analogue à celui qu'on vient de résoudre, mais on ne suppose plus que les urnes soient égales ni ([u'il y ait dans la totalité autant de boules blanches que de boules noires.
S'il y a dans l'urne A
boules blanches, nous disons que l'écart est x. Si l'écart est x, il v a dans l'urne A
boules noires, en désignant par s la somme m-k- n^ ni -^ n! , c'està-dire le nombre total des boules. Dans l'urne B il y a
(/?( -H m' ) (ni' -^ II')
boules blanches et
boules noires.
Si l'écart est.r, il y a au prochain tirage probabilité
I -+- sx[{m -+■ m') (m -h n) -h{n-i- n'){m' -\- n')]-h s*x' (m -+- n) (m' -h n')s-
pour qu'il sorte une blanche de l'urne A et une noire de l'urne B et par suite pour que l'écart diminue d'une unité. Il y a de même probabilité
\ — sx[{n -h n') (m -h n) -h {m -h m' ) {m' -{- n')] -h s^x- )
(/Il -h II I (lit H- II' )s^
pour qu'il sorte une noire de l'urne A et une blanche de l'urne B et par suite |)our ([ue l'écart augmente d'une unité.
•2 10 I.. lîAC.lIKI.lER.
Supposons qu'un joueur H porcio, à fha(|ue partie, une somme égale à l'accroisstMntMil do l'écart au doiililo tiragi' corrospoiulanl, ou que, on d'aulros tornios, il pordo conslaninioni une snniinc égalo à l'écart.
pour le tirage considéré, son espérance niathéniati(|ue est égalo à la dilTérence des probalùlités précédentes: elle a donc |Miur valeur
elle est proporlionncllo à x.
La fonclioM d'instabilité a pour exprcssiuM
!\{m -\- tn')(n ^ n')
si l'on suppose que a? est négligeable comparativement aux quantités
ni, n, ni, n' . Puisque, au début, riiriie A contient m boules blanches,
l'écart initial c^st
mil' — m' n
notre analyse le suppose négligeable comparalivenienl à m, m', n, n' . L'espérance étant proportionnelle à -r ot la fonction d'instabilité étant constante, la probabilité pour (|ue, en u. épreuves, l'écart ait une valeur donnée .r, s'obtient en remplaçant dans la formule du n" 309 les quantités a, cp, et s par leur valeur; la probabilité de l'écarté est donc
\ tl ]'
. dx.
■3i(ni -h m'){n -h n'){m -h n ) (m'
ttn-h m \/n' -t~n' i
'.ii'.i. Probabilités non uniformes. — D'après nos définitions, un jeu est uniforme quand il est constamment identique à lui-même.
Dans la tbéorie des probabilités connexes on considère une uniformité en quelque sorte relative : Nous disons, dans cette théorie, que les probabilités sont uniformes quand les conditions du jeu pour une partie ne dépendent pas explicitement de la variable [x, c'est-à-dire du rang occupé par la partie considérée.
D'après cette définition, les problèmes que nous avons traités sont relatifs à des probabilités connexes uniformes. Nous allons maintenant nous occuper des mêmes probabilités dans le cas de la non-uniformité.
314. Il est possible d'obtenir l'expressiou des probabilités (juand, à chaque partie, la fonction d'instabilité dépend uniquement de [x, quand elle est par conséquent de la forme 'k(u-) et quand, d'autre ])art, l'espérance mathématique pour une partie est égale au produit de la perte totales; réalisée avant cette partie par une fonction de [ji, /"(u.).
Le cas dont il s'agit est beaucoup plus général que celui que nous avons traité (n"30l); on obtiendrait ce dernier cas en supposant constants A (u.) et/(u.).
En employant les mêmes raisonnements que précédemment (n"'' 300-30.5) on est conduit au résultat suivant :
La probabilité de la perte x h la a"'""' partie a pour expression
dx.
^T.^Fiix)
FO
x) étant Tint
égral
le de
quation
On
en déduit
F(fji) = e -^ />,(fjt)e^ dfj..
315. Les fonctions /(fi) et X ((a) étant arbitraires (la seconde positive), F (a) est arbitraire; mais il ne faudrait pas croire que, la probabilité s'exprimant comme dans le cas de l'indépendance, il y ait analogie entre les deux cas.
La fonction F(,u.), en effet, ne possède jamais la propriété d'addition sauf lorsqu'il y a indépendance, c'est-à-dire lorsque/(f;.) est nul.
Si la fonction F (a) possédait la propriété d'addition, la fonction d'instabilité pour la dernière partie, c'est-à-dire pour l'intervalle ij.~dj., a, serait F'([x)rf[ji.; orcette fonction d'instabilité a pour valeur X((jL)r/a, on aurait donc F' (tx) = X (u.) et l'équation différentielle se
212 I- IIW IIF.LII'.R.
rodiiirail à /"(a) = o; lo jeu sor;ii( alors t'quilable et il adniclfrait l'iiid('|»('n(laii('o.
Il faut iluiic bien se garder de croire que la l'orme
9! [il
de l'expression de la probabilité convient exclusivement pour les cas où il y a indépendance.
316. La probabilité peut se représenter par une courbe (pii, i;éométriquement, a la forme connue mais dont la loi de déformalion suffit pour montrer toute la différence qui existe entre le problème actuel et celui des probabilités indépendantes. Les écarts vont en croissant et,
par suite, la courbe en se dilatant lorsque -r- est positif: or on a
>.(u.) est positif et quelconque, /(a) est arbitraire. Si/(ui) est nul il y a indépendance, y- est positif ou nul, la courbe ne peut (jue se dilater. Si/(u.) est négatif, la courbe se dilate plus rapidement encore. Mais si/(ii.) est positif, il peut être suffisamment grand pour
dF ■ ■
que -r- soit négatif; alors les écarts vont en diminuant, la courbe se
contracte et repasse par ses états antérieurs.
Si l'on ne particularise pas la forme de la fonction /(ul), celle-ci est arbitraire et la loi des alternatives des dilatations et des contractions des écarts est quelconque.
.317. Une urne contient m boules blanches et n boules noires; on en extrait u. boules au hasard sans les remettre dans l'urne. On dit que
l'écart est x si sur les u. tirages il est sorti -^ h r boules blanches.
Quelle est la probabilité de l'écart xi
Supposons qu'un joueur A perde à chaque partie une somme égale
à l'accroissement de l'écart au tirage correspondant, supposons que a tirages aient été effectués et (lue l'écart soit x.
Au tirage suivant, comme il n'y a plus dans l'urne que m-i-n — [jl boules dont
