III -r n

sont blanches, il y a probabilité

{m — a: ) ( m -h n) — mjj.

pour qu'il sorte une blanche et par suite pour que l'écart soit aug-

• I 1 ■ , Il mente de la quantité

1 ;/( -i- Il

Il V a de même probabilité

{m -T- n) (il -h .r) — n^j.) ( m -i- Il ) ( m -h II — jJ-)

pour qu'il sorte une noire et qu'alors l'écart diminue de la (juantité '"

ni-i- n

L'espérance mathématique du joueur A pour le tirage considéré est donc

m -h II — u.

elle est proportionnelle à a; et elle est de la forme xf{y.'). La fonction d'instabilité a pour valeur

2 [ ( m -^ /; ) ( '" — ■'" ) — "' }}■ ] [ ( "« — n) (n -\- x ) — ifj.\ ( m + « )- ( m ^ Il — fjt )'

Nous supposerons que m, n et a sont de grands nombres du même ordre; si aucune cause retardatrice n'existait, c'est-à-dire si à chaque épreuve la probabilité de sortie d'une boule blanche était constante, l'écart a; serait de l'ordre de y^iji (n" 262) et par suite a? serait négligeable par rapport à ix. Puisque, dans le cas actuel, les écarts tendent d'eux-mêmes à diminuer, x est à plus forte raison négligeable comparativement à u., à /« ou à n. L'expression de la fonction d'instabilité se

■2l\ I.. BACIIEI.IKU.

réduit donc à

L'espérance nialhéiiiatique étant de la forme xf(ij.) et la fonction .rinslahililc de la forme A (a), on peut appliquer au problème qui nous occupe la formule du n" .■{l''i.

La probabilité pour que le joueur A perde la somme œ, c'est-à-dire pour (jue l'écart soit x en p. épreuves, est donc

:dx.

F(,a) étant l'intégrale de l'équalion

àF 2 F 2 inn

du m-h /i — iJ- (m -h n )"

On déduit cette dernière égalité

2/nn l^i'n ■+■ n — pi) (m ■+- n )^ m -h n

La probabilité de l'écart œ est donc

ni -\- n 2[x wn }n-^n — \J-j

m + n — fjL

Si après chaque tirage la boule extraite était replacée dans l'urne, la probabilité de sortie d'une boule blanche serait constamment ^j^-^ et la probabilité de l'écart x aurait pour valeur

/2 7ïp-

Lorsque les boules ne sont pas replacées dans l'urne, l'écart est donc diminué dans le rapport de \m + « — u. à \lm -+- n-