iNous aurons à résoudre les queslions suivantes

1° Quelle est la probabilité n^,„ pour que le joueur soit ruiné exactement à la a'"'™'' partie, ou, en d'autres termes, quelle est la probabilité pour que la perte ut soit ;itleiiite pour la première fois à la (JL'*-""' partie?

2iG 1 . r, Miii.i.ii'.ii.

La probabilité ^^^„, est la probabililc clcinontaire du second genre.

i>" Quelle est la probabililé P^ ,„ pour que la ruine se produise en [X parties ? l\ ,„ est la probabililé du second genre.

11 est évident que la connaissance d'une des probabilités P et II entraine la connaissance de Tautre, car on a

il.,,,, — ; "JJ.,,-. "r ^"' "H,m — j

\\.„,= j Ilîj.,,-. f/p- et ll^.,„= "' '^•"'

3° En supposant qu'aucune limite ne soit assignée pour laduréedù jeu, quelle est la durée moyenne de celui-ci et la probabilité totale P«.m df" ruine du joueur?

4° Quelle est la probabilité pour que, à la [jl'™"' partie, le joueur A perde une somme donnée?

5" Quelle est l'espérance mathématique du joueur A?

Nous étudierons ces diiïérents problèmes en supposant d'abord que le jeu est équitable et uniforme, puis qu'il est équitable et non uniforme. Ensuite, nous ferons Tétude des cas où le jeu n'est pas équitable et finalement des cas où il est connexe.

320. Cas où il y a symétrie et uniformité. — Nous avons vu (n° "239) que si l'on suppose la continuité, le fait, pour un jeu, d'être équitable a pour conséquence la symétrie des probabilités. Il en résulte que certains problèmes relatifs aux jeux équitables peuvent se résoudre par simple raison de symétrie.

En désignant comme précédemment par $|j. „, la probabilité pour que le joueur perde une somme supérieure à m à la [i^""^" partie et par P|i,„ la probabilité pour qu'il soit ruiné avant u. parties, on a, en supposant le jeu équitable.

En effet, la perte m ne peut être dépassée au bout de a parties sans l'avoir été antérieurement, la probabilité ^ est donc égale à la probabilité P multipliée par la probabilité pour que, la perte m ayant été atteinte avant ^ parties soit dépassée à la ii}"""' partie, c'est-à-dire

multipliée par - ; on a donc

tf — -P

CALCUL nKS PRonAruLiTÉs. 217

La pruhabihté f)our que la perte m soit alleinte en a parties est le double de la probabilité pour que la perte soit supérieure à m à la u.'*'™* partie.

St a devient infini, '■S,,,, a pour valeur - et alors P, ,„ = i; la probabilité de ruine est une certitude.