En supposant que v, = o, on obtientpour la probabilité
c'est-à-dire i — P(i.„,, résultat évident.
326. En posant y, = m, on obtient la probabilité totale pour qu'il y ait gain : c'est la quantité
En retranchant celte dernière quantité de i — ^^r^ on obtient la probabilité pour que le joueur perde une somme comprise entre zéro et m
327. Étude de l'espérance mathématique. — L'espérance négative est la somme de deux termes, l'un — «zP^,„ relatif au cas où le joueur est ruiné et l'autre
relatif au cas où le joueur a perdu une somme comprise entre zéro et m.
L'espérance positive a pour valeur
{ m-^-yv
elle est égale à l'espérance négative, résultat évident. Les deux espérances ont pour valeur absolue
220 L. IIACIIEI.IKU.
ollos croissent constamment de zéro iu/v^ quand m croil de zéro à
l'inlini. Ce résiliait rhiit à prévoir (n" 254).
La (|iiaiitilc tn avaiil une valeur tixe détormiiiéc, les espérances positive el négative tendent vers 4- /« et — m lorsque u. tend vers l'infini.
328. La râleur moyenne relatù'e du gain, (juand gain il y a, est p-rr)
C étant l'espérance positive et P' la prohabilité pour qu'il y ait gain.
Si ijL tend vers l'infini, £' tend vers m et P' vers zéro, la valeur moyenne relative du gain tend donc vers l'infini.
329. Durée moyenne du jeu. — Cherchons d'abord quelle est la durée la plus probable du jeu, c'est-à-dire (|uel est le nombre a de parties qui correspond à la plus grande probabilité pour que la ruine du joueur s'accomplisse à la p.'"'"' partie; en annulant la dérivée de l'expression
v/7rfx\/fi(»i on obtient le nombre cherché
330. Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, sa durée probable est exprimée par le nombre p. de parties tel que Pj^^ = -. Ce nombre est
il est environ six fois plus grand que celui qui correspond à la durée la plus probable.
Si le jeu doit durer au maximum a parties, •idi durée probable absolue
est la quantité u., telle que Pm, ,„= -> d'où a, = "^ ' •
Si [A est inférieur à a,, la durée probable absolue est [jl.
La durée probable relative A\i\e\i est la quantité ui, telle que
P -ip
On résout cette équation avec les Tables de la fonction 0.
331. Si aucune limite n'est assignée pour la durée du jeu, la durée moyenne, c'est-à-dire l'espérance mathématique d'un joueur H à qui on promettrait i''' par partie jouée, est exprimée par l'intégrale
C dP , r',ne^
En posant - — = A-, elle devient
Cette intégrale est infinie.
La durée moyenne du jeu est donc infinie.
332. Occupons-nous maintenant du cas où le joueur A doit jouer au maximum u. parties. La durée moyenne absolue du jeu est l'espérance mathématique d'un joueur H à qui on promettrait i'^'' par partie jouée.
Cette espérance se compose de deux termes : l'un est relatif au cas où le jeu ne s'est pas terminé avant u. parties, c'est évidemment la
quantité
(i — PiJ.,/„)p-;
l'autre est relatif au cas où le jeu s'est terminé avant [x parties, c'est l'intégrale
En posant — = "k-, cette intégrale devient
222 l.. ItACIIELIEU.
Transformons-la en ronianiuant (jne de l'cgalhé
•/il •-'/i
on déduit, on inté;<rant par parties,
/ a« J sa'
L'intégrale proposée devient alors
OU
v/ttV^
La durée moyenne absolue a donc pour valeur
Lorsque tx est très grand, elle se réduit sensiblement à
elle est donc proportionnelle à la fortune du joueur et à la racine carrée du nombre maximum des parties.
Lorsque le nombre des parties peut être illimité, la durée moyenne est infinie.
333. La durée moyenne relatwe du jeu est le nombre moyen de parties qui amènent la ruine, quand ruine il y a; c'est, par définition, la quantité
OU
Pli,/,, /Jî V^
334. Quelques intégrales. — La perte m ne peut être atteinte sans que la perte w, le soit d'abord si m est plus grand que m^. La probabilité pour que la perte m soit atteinte pour la première fois à la jj^ième partie, la perte w, ayant été pour la première fois atteinte à la uLi'™*" partie, est, en vertu du principe des probabilités composées,
"li,,m,"lJ.— (i|,m— m,-
La perte /«, pouvant être atteinte pour la première fois à toutes les parties depuis zéro jusqu'à a, on a, en vertu du principe des probabilités totales,
l'[i,,m,ll|J.— |i,,,n— m, ''f-l '1X,=0
