CHAPITRE

TIIÉOIUE ÉLÉMENTAIRE DES ÉPREUVES UÉPÉTÉES.

^42. La probabilité d'un événement est p, celle de t événement contraire est q ^= i — p\ on fait a épreuves dans les mêmes conditions . Quelle est la probabilité pour que le premier événement se produise n fois, et le second [j. — n J'ois ?

Cherchons d'abord la probabilité pour (jiie les événements se succèdent dans un ordre déterminé. D'après le principe de la probabilité composée, la probabilité cherchée est

Elle est indépendante de l'ordre considéré. L'ordre étant indéterminé, la probabilité cherchée est, en vertu du principe de la probabilité totale, la somme d'autant de termes égaux à p"q^'" qu'il y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de «lettres A et de [j. — « lettres B ; ce nombre est

La probabilité demandée est donc

— j ^ r p"nV-~".

C'est l'un des termes du développement de {p -\- qy . 43. Si l'on écrit

{p ^q)V-=p\^+ ixp\^-'q-i- ^,^^^|^^^, p^-'q' + ..

CALCUL DES PROBABILITES. 2Q

Le premier terme représente la probabilité pour que révéïicment, dont la probabilité est (f, ne se présente pas une seule fois; le deuxième représente la probabilité pour que cet événement arrive une fois; le troisième pour qu'il arrive deux fois, etc.

La somme des k premiers termes est la probabilitépoiir que cet événement arrive au plus k ~ \ fois sur t;^ épreuves.

La somme de tous les termes est la probabilité pour que l'événement se présente au plus a fois; c'est la certitude, et la somme des ternies est égale, en effet, à l'unité, puisque/; -f- y = i.

44. Probabilité maxima. — La probabUiié d'un événement est /j, celle de l' événement contraire est q\ on fait ul épreuves dans les mêmes conditions. Quel est, pour chacun des événements, le nombre d'arrivées le plus probable?

Le rapport d'un terme au précédent

devra, pour le terme maximum, être plus grand que un, mais il devra devenir plus petit que l'unité si l'on remplace n par n — t.

La valeur de n qui correspond au maximum doit donc vérifier les

inégalités

d'où l'on déduit