Si, dans l'intégrale simple ci-dessus, on pose

on obtient après réductions l'intégrale connue

Si dans cette dernière on pose r = -, on a

337. Cas où il y a symétrie et non-uniformité. — Si l'on suppose la continuité et l'indépendance, le fait pour un jeu trètro B. - I. 29

22G L. IIACIIEI.IKU.

éqiiitalilo a pniir nnisiMiiicint' la syinétrip des probabilités (n"27l) iiUMiie si il' jtMi n'est [tas miiidriiic. Il en ri'sulti' t\\n^ la foriimlo

liniit la (Icmoiistration (n" 320) siipposi' uniquemonl la symétrie est exacte iiu'inc si le jeu n'est |)as uniforme.

La probabilité 'i^,,„ ayant pour expression ( n" 272)

on en déduit

Telle est l'expression de la probabilité pour (juc le joueur soit ruiné en <x |)arties. On doit remarquer qu'elle est indépendante de l'ordre des parties.

Cette probabilité se calcule par les Tables de la fonction 0.

338. Supposons qu'aucune limite ne soit fixée pour la durée du jeu; si 9(w-) croit indéfiniment avec u. la probabilité de ruine a pour valeur i.

Si, au contraire, u. croissant indéliniment, '^(jJ-) tend vers une limite finie, la probabilité de ruine n'est plus une certitude.

(^e résultat était ii prévoir : si en effet la fonction d'instabilité cp([J<-) formée par adtlition îles quantités toutes positives o'(iJ.)da tend vers une limite finie, c'est que les instabilités o'(L«.)rfades diverses parties deviennent de plus en plus faibles. Elles sont par suite insuffisantes pour entraîner nécessairement la ruine du joueur si celui-ci a gagné au début du jeu, et c'est pouninoi la probabilité ne tend [dus alors vers la certitude.

Il est du reste évident que, si l'instabilité devient nulle à partir d'une certaine partie, le jeu peut être considéré comme cessant k cette partie.

Dans ces conditions la probabilité de ruine ne peut être égale à l'unité.

339. La probabilité n^,„ pour que la ruine ait lieu exactement à la m."""* partie a pour valeur

dl\.,n mo'{p.)e '"i^' ,

ç.'((A)rfa est l'instabilité de la u."'"*' partie considérée isolément.

La prohabiliU pour que la ruine ait lieu exactement à une partie est proportionnelle à la /onction cC instabilité de celte partie considérée isolément.

340. Les problèmes relatifs à la distribution des probabilités et à l'espérance mathématique se traitent comme dans le cas des probabilités uniformes (n" 323) et ne présentent aucune particularité remarquable.

Si aucune limite n'est assignée pour la durée du jeu, la durée moyenne ou valeur moyenne du nombre des parties a pour expression

Cette intégrale n'est pas nécessairement infinie; si, par exemple. ç(a) = hu.", la durée moyenne n'est infinie que si n est inférieur à 2.

Si donc le joueur augmente ses mises dans une proportion trop forte, la durée moyenne du jeu devient finie.

341. Un raisonnement analogue à celui qui a été employé (n" 334) permet d'écrire la formule

(:,--;,-... ^=„)9'(]UL)e

|?(Fn-i)[?if^n-2) — ?(F«-i)J[?(f^«-3)~ a (fi,,-,)].. . [9(,a) — 9(,a,)]i

I ^fX„, <-/fi„ 5 . . .r/fi,.

•228 !.. liAC.IlKl.ll'.R.

Jo rapiicllc (jiie la i'onction 9(iJ.) doiil 5'([^) *'^' '•* ilcrivée est arbi- Irairo sous la seule coiulilion crètrc positive et croissante.

OngiWiéraliserait do riiciiu' l'intégrale du ii" ;{.'{."); (in obtiendrait

II,-t-S,-H...-t-î.l' Çllll

\/n\/o(it.)

■'(l,=0 «^ |l,iO •^|1„,=0

/ 1*1 = 1* /«t*l = l*l ,-.1*.. -1 = 1*»-) ^f =û »-'ii-=.o »^u = 0 »^a ,

9i(i„,i îi(i„,i-qj,|i„,i ?iii, ji-ïi(A„,,, •■• î.|i,-?,[i,i

'.Vi'2. Cas général de l'uniformité. — Nous ne supposerons plus que le jeu soit e(|uilable, mais nous supposerons ciu'il est uniforme.

Nous allons cherciicr l'expression de la probabilité élémentaire du second genre ITu,,,,, c'est-à-dire la probabilité pour que le joueur soit ruiné exactement ii la a'"'""' partie.

La perle //i ne peut être atteinte sans que la perte m, le soit d'abord si m, est intérieur à m. La probabilité pour que la perle soit //t à la (j^ieme partie, la perte m, ayant été pour la première fois atteinte il la a,'"'"' partie est, en vertu du principe des probabilités composées,

La perte /«, pouvant être pour la première fois atteinte à toutes les parties depuis zéro jusqu'il a, la probabilité pour que la perte soit m à la ij.''"'"'' partie est, en vertu du principe des probabilités totales,

^\t.,m^^ j "|j.,,m, X nj|i[j,|,„,,„| "fJ.|.

Telle est l'équation de condition ii laquelle doit satisfaire la fonction II.