I.. HAC.iii'.i.ir.ii
somme /// il la rj."""' |iarli(', avaiil |m'I(Iu j}(Hii- la incmit'i-c lois la somiiu' in, il la u,"""' [tarlic, csl, en vcriii du |iiiiici|)e tics |)rohahilil(''S l'ompost'os.
lln,.Hl,.f , X ll|l|i,.,„ , ,„,,ç,.
La |u'ili' ///, avaiil |)U rfre alli'iiitc pour la première l'ois ii tou(es les pallies (le zéro à y., la prol>al)ili(c elierchéc csl, en vertu du principe de la proliahililé lolale.
I ''!Ji,.m„9, X 'I(i.-[i„;«-«i,,ç, "Pi
OU
v^ ;^i \Vi?i V^ (f^ — Pi ) s/lp — Pi)?2
\''Vi ' \'9'.
lin posant -^ = z, et — -=-! = z^, cette intégrale devient
^ ---1 __iL
et, d'apri's la roriiniie du n" 'iV\, sa valeur est
Si l'intervalle m est divisé en deux intervalles m, et w, auxquels correspondent les instabilités ç, et Oo, la probabilité pour que la perte /«, -t- /n. soit adeinle ii la u."""' partie estdonc
364. Si riiilervalle m était divisé en trois intervalles m^, m.,, m., égaux ou non auxquels correspondraient les instabilités cp,, Oo» 9.i> l;i prolialiilité de ruine ii l;i u''""' partie serait
>,=o . -r-. »r-.?i V'î(f^2-Fi)v'{F2— Pi)?2 V'7^(P — P2)V^(P -Fi) 93
c'est-à-dire, d'après l'intégrale du n" S.Ti,
1 r ffïj TOj m, T'
Si l'intervalle m était divisé en plusieurs intervalles m,, m.^, in^, ..., auxquels correspondraient les instabilités o,, o,, 93, . . ., la probabilité de ruine à la u.'^'"*" partie serait
365. Si l'on suppose que 9 varie d'une façon continue quand la
perte x varie de zéro à m, de telle sorte que, dans l'intervalle x,
x-\-dx, la valeur de ç soit '^{x), la probaliilité de la ruine à la jj^iemc partie ggj
Telle est l'expression de la probabilité élémentaire II dans le cas de la connexilé du second genre.
Pour conserver à notre théorie toute sa généralité, nous no particulariserons pas la fonction cp ; nous la considérerons comme arbitraire, sous la condition d'être positive.
366. La probabilité P^,,,, pour que la ruine ait lieu avant a parties est exprimée par l'intégrale
iJ-\,'r.\,ip.
En posant
I r "" dx
on a
Pa,,«=i ^ j e'v/À.
V r.Jo
2/|/| I.. luciir.i ins.
(-('Me viiliMir s(> calcnlc iiisriiit'iil par les Tables de la fonction
(l('Si|ii(' l'iiilé;,M'alion i\o la limilo supiTioiirc csl cirocdu'O.
Si auciino liniilc n'ost lixcc pour la (lurt'c iln jini, P„,„, a pour vak'iir' i; la niini- (lu joueur est certaine.
La (lurtM- moyenne du jeu
est iiilinie.
:}(î7. Nous supposons maintenant que le joueur possède une fortune inlinie.(|u"il jiiuc ii un jeu éi|Mi(aliie et que, à cIkkiuo partie, les condilions (lu jeu ijrpeiideiii de la |)er(e maxima obtenue avant cette partie. Quelle est la probabilité |)our (|ue cejoueur perde la somme -en jouant (j. parties?
Nous désignerons, comme précédemment, par 'f(i') la fonction d'instabilité pour une partie quand la perte maxima antérieure esta;.
Nous déterminerons d'abord la probabilité pour que la perte maxima dans les a parties soit c, pour qu'elle soit de plus atteinte à la p.,"""' partie et pour ([ue. finalement, la perte soit :■ à la p.''""' partie.
La probabilité pour que la perte x soit atteinte pour la première fois à la a,"'""' partie est, d'après le résultat obtenu au n" 365,
d[ii
, ' que nous laisserons arbitraire est une donnée
du probli'me; elle exprime la loi de la variation des instabilités avec la perte maxima r.
La perte x étant atteinte à la a,''""' [)artie, il faut que dans les fi — a, parties qui restent ii jouer : i" la perte x ne soit pas dépassée, c'est-à-dire que la perte x -+- 'Ix ne soit pas atteinte ; 2" il faut que la perte ait pour valeur s à la fx'*=""' partie et que, par suite, dans les u. — u., parties qui restent à jouer, il se produise le gain x — z.
CALCUL np.S PROBABILITÉS. 2/^5
La probabilité pour que ces éventualités se réalisent est facile à obtenir, car l'instabilité reste constante pendant les u^ — u.| dernières parties, et, d'autre part, nous savons calculer la probabilité pour que, la perte dx n'étant jamais atteinte en u. — a, parties, le gain soit finalement x — z. C'est le problème de la distribution de la probabilité qui a été résolu très simplement (n° 323). Cette dernière probabilité a pour valeur
OU
^a-!i„.r-= a pour expression
Dans la difTérentiation en x nous devons considérer o(,r) comme constant, puisqu'il désigne l'instabilité à partir de la pi, ■'"""■ partie. On a donc
— 2 dx -r- = ^ -z=z:=^^=^ dx.
o-^ \/r. (jj. — iJ-,) o{x) s/in — p.,) o(x)
La probabilité pour que la perte maxima dans les u. parties soit x, pour que cette perte maxima soit atteinte à la a,'"""" partie et pour que, à la a'""'' partie, la perte soit :; est donc, en vertu du principe des probabilités composées,
D(^^ dx 1' 0 V^?^J ~ i^ [iT^fe]
(.— Si'
4(x — s)e iM—[A,i ?,-.-,
dx djXi
fi, \/r. v/fïi" yÇ ( fi — fi, ) 9 (x) v^(fi — ,u., ) 9 ( .r )
La perte x ayant pu être atteinte à toutes les parties depuis tx, = o jusqu'à a, = [J. et, d'autre part, la perte maxima x pouvant avoir toutes les valeurs iopuis z jusqu'à l'infini, la probabilité pour que la perte soit s à la a''''"'" partie est, en vertu du principe des probabilités totales.
r'-" r r' (ix
dx
, r ^ ,,.. T if
dx d^t-i-
2'|(î !.. itAciiri.ir.ii.
La ronniile du n" XVi pciiiicl l'iiilégralion par rapport à [>., ot l'expression se rétluit à
/ ^ r /• ' '^■'- ^ T-zl - 4.C TfT^ ^ lw\ dx.
La probal)iliti' pour que. ii la a''''"'" partie, on réalise le ijain z' est de iiièuie
/ l\ [ r' <lr ^ ^-'-^'Ig i^U» v'?t:ïï /9wJ
(io;.
Ces deux Ibrnuiles donnent la solution du problème proposé.
.'568. Dans le cas où o(.r) est constant et égal à<p,, les deux formules conduisent à l'expression connue
résultat évident.
369. Supposons que "^{-v) ait une valeur constante ç, tant que x est inférieur à m et que o{x) devienne nul (et que, par conséquent, le jeu cesse) dès que x atteint la valeur m.
Pour obtenir la probabilité du gain z', on doit considérer la seconde formule et effectuer l'intégration entre zéro et m (puisque .r ne peut dépasser m); on obtient alors finalement pour expression de la probabilité
e ^^'dz' e ''^' dz'
résultat connu (n^SaS).
.370. Jusqu'ici nous avons supposé le jeu équitable: nous ne traiterons, relativement aux jeux non éijuifablos, (|ue deux problèmes : celui qui consiste à chercher la probabilité totale de ruine quand aucune limite n'est assignée pour la durée du jeu, et celui qui a pour but de
déterminer la durée moyenne du jeu quand aucune limite n'est fixée pour cette durée.
371. Occupons-nous du premier problème; supposons que le jeu soit caractérisé par les fonctions '\), et o, jusqu'à ce que le joueur ait perdu la somme x, (x<^m), puis qu'il soit caractérisé par les fonctions 'l^ et 9^.
Le joueur ne peut être ruiné possédant la somme m sans avoir d'abord perdu la somme x; la probabilité pour qu'il se ruine possédant la somme m est donc égale, d'après le principe de la probabilité composée, au produit de la probabilité pour qu'il se ruine possédant la somme x par la probabilité pour qu'il se ruine possédant la somme m — x; on A donc
Si par exemple .{/, et '^x sont négatifs, le jeu est désavantageux avant la perte x comme après; P, ^ et P„„, ^O'it chacun pour valeur i, et par suite P„ ,„ a pour valeur i .
Si le jeu est désavantageux ou équitable avant la perte ;r et avantageux après, on a (n" 349)
■ ji'!/.
et par suite
Vf/// — XI 'bx
P Vx
Si le jeu est avantageux avant la perte x comme après, on a
et par suite
yr
372. Supposons pour fixer les idées que le jeu soit constamment avantageux, qu'il soit caractérisé par o,.^ et •]/,. tant que la perle totale est inférieure à .i',, puis par o^, et vp^.^ tant que la perte totale reste inférieure à a?, -h x.,, puis par o,.^ et 'j^,^ tant que la perte totale reste inférieure à x, -\-x.,-\-x^, etc. On a, en vertu du principe des proba-
2/|8 '• iiA<.riKMi;u.
bililfs cuiiiposccs,
Çxi.'l'j-. 9*,->I'x, ?x,.?Jr,
c'est -à-(li If
On pciil supposer que ç et '>p varieut d'une façon continue avec a;; alors
Cette expression convient dans tous les cas, que le jeu soit constamment avantageux ou non, pourvu (juo, dans l'inlégrale, les éléments négatifs soient considérés comme nuls.
