Occupons-nous de la détermination de la durée moyenne
Il faut d'abord remarquer que, si les conditionsdu jeu sont telles que celui-ci ])uisse, h un moment quelconque, devenir é(|ui(al)le ou avantageux, la durée moyenne est infinie (n° 350).
Nous devons donc nous borner au cas où le jeu est constamment désavantageux.
Si le jeu est caractérisé par les fonctions '\/, et o, jusqu'à ce que la
perte totale x soit atteinte, puis par les fonctions '|^ et 9^, la durée
moyenne est
La perte totale m ne peut en elfet être réalisée sans que la perte x soit atteinte auparavant. La durée moyenne pour (juc la perte a? soit
atteinte est — '—■ Au moment où elle est atteinte, la durée moyenne est i — '-■ L'expression précédente est donc exacte.
374. On peut supposer aussi que le jeu soit caractérisé par ç^., et '\^.^ jusqu'à la perte totale x^, puis par o,.^ et .p, jusqu'à la perte totale x^ -^x^, puis par ç^.^ et 'I^Jusqu'à la perle totale x^ -1-^7. + x^, etc.
La durée moyenne est alors
Si '\i est une fonction continue de x, la durée moyenne est
r'" rfr
CHAPURi: \l
l'IvOUAlULlTÉS CONTINUES IH' TUOISIKMK (iENlUÎ.
37;"). Dans la lliéorio îles proltajjiiitfs du pruiiiier genre, la variable or, qui exprime la perle ou le gain d'un joueur, est susceptible de prendre toutes les valeurs.
Dans la théorie des probabilités du second genre les variations de .r sont limitées dans un sens, et dans la théorie des probabilités du troisième genre ces variations sont limitées dans les deux sens.
Nous supposerons un joueui- A possédant la somme m (jue.nous appellerons sa fortune, jouant contre un adversaire 13 possédant la fortune n, chacun des joueurs devant régler les difierences après ciia(|ue partie.
On peut aussi supposer (|ne le joueur A qui possède la fortune m joue contre plusieurs adversaires de fortunes infinies et qu'il convient d'avance de cesser déjouer quand il aura gagné la somme />. Son sort est le même que s'il jouait contre un seul adversaire B possédant la fortune n.
Si 'j. parties doivent être jouées au maximum, trois cas peuvent se présenter : le joueur A peut être ruiné, le joueur B peut être ruiné, ou entin les deux joueurs peuvent n'être ruinés ni l'un ni l'autre.
Les principaux problèmes que nous aurons à résoudre sont les suivants :
1° Quelle est la prohabilité lln.,„„ pour (jue le joueur A soit ruiné exactement à la a"'''"*' partie?
La quantité II,i.„,.„ est la probabilité élémentaire du troisième genre.
La probabilité pour que le joueur B soit ruiné exactement à la p^irme pa,.(ie s'exprime par ii^j^, ,„.
n,!,,,,,,, et £)(ji.„.„, se déduisent i'iiii de l'autre en substituant w à n et n à m et en remarquant que les conditions du jeu relatives au joueur B sont l'inverse des conditions relatives au joueur A.
Lorsque le jeu est symétrique, on peut écrire simplement U^,,,.,,, :>" lieu de O^.^ ,„.
La probabilité pour que le jeu prenne fin à la a'"'"''" partie est
2° Quelle est la probabilité P|ji,,„,„ pour que le joueur A soit ruiné en a parties?
^tx.m.n est la probabilité du troisième genre.
Les probabilités P^„,„ et !!„,,„„ se déduisent l'une de l'autre; on a
du. (M n„ ^p..j!i^.
*tX./H.W ■
La probabilité pour que le joueur B soit ruiné en u. parties se désigne par Qa,„,„; on a évidemment
Qll..„.m= i2u..«,m ('m- et
La probabilité pour que le jeu prenne fin avant u. parties est
La probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé en a parties est
3" Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, quelle est la probabilité de ruine de chacun des joueurs et quelle est la durée moyenne du jeu?
4° Si a parties au maximum doivent être jouées, quelle est la probabilité pour que, à la u.'""'"'' partie, le joueur A ait perdu une somme x et quelle est l'espérance mathématique de ce joueur?
Nous résoudrons d'abord ces problèmes en supposant le jeu équitable et uniforme, puis équitable et quelconque. Nous étudierons ensuite le cas où le jeu n'est pas équitable.
aja I.. iiACiiK.i.iKiî.
37(;. Cas où il y a symétrie et uniformité. Le joueur A possédant la somme m et le joueur B la somme n, quelle est la prohabilité pour (pie le jeu se termine à la ij."'""' partie par la ruine du joueur A?
Nous supposons que le jeu est équitable, et, comme la probabilité est confiiiuo, cela revient à le considérer comme symétrique (n° 2.'}9).
La probabilité cbercbée s'exprime par II|j.,,„,„; nous pouvons poser en première approximation
La (luantilé ll|j.,,„,, a pour valeur (u" .■{22)
Rappelons que o, est la fonction d'instabilité relative à une partie, c'est-à-dire, pour le jeu équitable, le double de la valeur moyenne des carrés des pertes relatives à cette partie.
La formule
donne, pour la probabilité cherchée, une valeur trop forte; de toutes les séries d'alternatives de gain et de perte produisant la ruine du joueur A exactement en a parties, nous devons retrancher celles qui produiraient précédemment la ruine du joueur B.
Si le joueur B, quanil il est ruiné, pouvait continuer à jouer jusqu'à la a''"'"'' partie, il y aurait probabilité égale pour qu'il gagnât la somme /n -t- n et qu'il ruinât le joueur A, ou pour qu'il perdit encore la somme m -+- n, ce qui porterait sa perte -Am -\- -m.
A chaque série d'alternatives de gain et de perte qui produit la ruine du joueur B et qui aurait ensuite produit celle du joueur A correspond une série qui donnerait au joueur B la perte m-\- in s'il possédait cette somme; et comme aucune des premières séries ne ruine le joueur A avant la a'"""'' partie, aucune des secondes ne ruinerait le joueur B avant cette u}""^" partie, s'il possédait la somme m -+- in. Ceci nous incite à poser en seconde approximation
La quantité U^,,u-,-2n.^ que nous avons retranchée est trop forte, car nous avons retranclié les séries produisant la ruine du joueur B supposé posséder la somme m-h-2n, alors que nous n'aurions dû tenir compte parmi elles que de celles qui ne causent pas d'abord la ruine du joueur A.
Or, si le joueur A supposé d'abord ruiné avait pu continuer à jouer, il n'est ni plus ni moins probable qu'il eût gagné la somme am + 2/2 qui aurait amené la ruine de B, qu'il n'est probable qu'il eût perdu cette somme 2m + 2.n, ce qui aurait porté sa perte à 3m -i- in.
On doit donc poser en troisième approximation
et ainsi de suite, on a donc
Cette série convergente exprime la probabilité cherchée.
377. Probabilité totale. — Le Joueur A possède la somme m et le joueur B la somme n ; quelle est la probabilité pour que le jeu se termine avant u. parties par la ruine du joueur A"!
La probabilité cherchée àïie probabilité du troisième genre P^,,„.„ est la somme des probabilités Tl^^m.n de zéro à a; on a donc
La probabilité cherchée est donc
Les quantités P[i,;,. étant données par la formule connue (n" 321),
tJ.,:.« = I 7= / e~''dl,
354 I.. IIACIIKI.IICR.
dont la valeur luiiurruiuo s'oblicnl iinmocliatomonf par les tables de la roiiclioii
\JnJt, {78. La probabilité pour que le joueur B soit ruiné en tx parties
on a
est
' U., Il, III > U,/j.« ■ U.f;^-2>/I.« ~T~ » (JL.
La probabilité pour ([ue le jeu se termine avant [j. parties a pour
valeur
et la probabilité pour qu'il ne soit pas terminé avant u. parties est
' "|i,»i,n » |JI,;i,;m-
379. Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, les probabilités P..„,.„ et P..„,„, prennent la forme indéterminée
mais il est facile de les déterminer directement. On a (n° 13) P —
380. Cas où il y a symétrie et non-uniformité. — Si Ton suppose la continuité, le fait pour un jeu d'être équitable a pour conséquence la symétrie de la probabilité, même quand le jeu n'est pas uniforme ( n" 271); il en résulte que les formules
et
"ji.,m,n — "lJ-"'« "[i, «1-1-3/1. « -r- "u.,.3/n-i-2n.»
» |i,«l,/l — ■ li,;n,=o » [i./n+î/i,« + "|i.3m-+-2n,« — • ■ ■ i
dont la démonstration suppose uniquement la symétrie, sont exactes, même si le jeu n'est pas uniforme.
On a (n° 339)
ila.a:.x= -^ — ■ dfx;
o(a) est la fonction d'instabilité relative à a parties.
On voit que Ilji,,,,,, et IIji„,„, sont proportionnels à 9'((Ji-). La j)robal)ilité pour que le jeu se termine à une certaine partie est proportionnelle à la fonction d'instabilité de cette partie considérée isolément.
Les probabilités P sont données par la formule (n° 337)
iL,X.^=i j= I €-'>'■ cO..
381'. Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, les formules P«,m,« et P„,„.,„ font coiinaitre les probabilités totales de ruine, si o (u.) tend, pour a infini, vers une limite fixe.
Dans ce cas, la somme des probabilités ?..,„.„ et P„,„,„, n'est pas égale à l'unité; la probabilité i — P,,„,,„ — ^^,n.m pour que le jeu dure indéfiniment a une valeur finie. Ce résultat est presque évident et s'explique comme celui du n° 338.
Si o([i.) croît indéfiniment avec u.. les formules qui précèdent prennent la forme indéterminée
et les probabilités sont alors obtenues par la considération de l'espérance mathématique (n" 13); on a
382. Écart maximum. — On suppose un joueur 11 ayant une fortune infinie et jouant a parties.
Quelle est la probabilité pour que, dans le cours de u. parties, le plus grand écart, dans un sent ou dans l'autre, ait une valeur donnée m?
Si l'on imagine deux joueurs A et B jouant aux mêmes conditions que H et faisant la contre-partie l'un de l'autre, l'un de ces joueurs
2;")() !.. nAC.lIF.I.lF.U.
sera norossairomoul niiiic ;i\anl ;j. parties si ces joueurs possèdent la l'uiliiiH' /// '(////. Aiiiiiii d'eux, au contraire, ne sera ruiné si ces j(Uit'iirs |)ossèdt'nt la fortune ru.
I,a |)rol)aI)ililt' de l'écarl niaxinium m est ainsi
dm ou
^T— (' — alV.m.".)
(m« Hml' I a m I' 1 7 »l 1' N
V'7rv'?(fi)
On peut oliteiiir le rnènio résultat en raisonnant de la façon suivante :
La probabilité pour (pie l'écart m soit atteint pour la premicro fois il la uL''""' partie est Mo.^,.,,,: supposons par exemple que cet écart soit une perte; |)our (|ue l'écart m ne soit pas dépassé dans les a — \^.^ parties (|ui restent à jouer, il faut que la perte in + dm ne soit pas atteinte et que le gain ne dépasse pas 2///. La |)iobabiiifé d'une telle éventualité est
La probabilité pour ijue le plus grand écart soit m et pour (lu'il se produise à la ai''""" partie est donc, en vertu du principe des probabilités composées,
2II,) |i^,„ ( I I u.,,|X,rfm.2w • [Ji,.|i.2m,rf/n)-
L'écart m pouvant se produire à toutes les parties de zéro à u., la probabilité cherchée est, en vertu du principe des probabilités totales.
En effectuant l'intégration, on est conduit au même résultat que précédemment.
38;}. Seconde courbe de probabilité. — La probabilité pour que l'écart maximum soit x en a parties,
j=r ■ ^ \e '""-se '"^'-t-se ?'!^'..J,
S/T.\Jo(lJ.)
CAI.CLL DES l'IlOUAlill.lTKS. 2^7
peut être représentée par une courbe; cette courbe est tangente à l'axe des œ à l'origine, et à l'infini, elle présente quatre points
d'inflexion ; l'ordonnée est maxima lorsque x- = 0,642 • • • \ ç- ( (J^).
La valeur la plus probable de l'écart maximum est o,G4'-i . . \ ^ ( î^- '■
Lorsque r est très grand, la série se réduit à son premier terme, et
la probabilité pour que l'écart maximum soit x dans le cours des
(biparties est le double de la probabilité pour que l'écart final soit a-.
La probabilité maxima, c'est-à-dire l'ordonnée maxima de la courbe,
décroit comme •
Les abscisses des points d'inflexion croissent proportionnellement
à \Jo{u.).
384. Si l'on considère un écart m fixe, sa probabilité, lorsque a augmente, croit jusqu'il une certaine valeur et décroit ensuite. La probabilité maxima a lieu lorsque »? = 0,783 . . . \jo {[>.). ij. continuant à croître, la probabilité de l'écart m décroit; elle a déjà décru de ^^ environ lorsqu'elle devient msL\\mA relativement aux autres, c'est-à-dire lorsqu'elle correspond au sommet de la courbe de probabilité; on a alors
m =r 0,642. . .\'oy[J.).
385. Second écart moyen. — Le second écart moyen est la valeur moyenne du plus grand des écarts qui se sont produits pendant les II. parties; il a pour expression
OU
;jl
— . . . / dm .
Cette quantité est une somme d'intégrales de la lurnie
'1 y. me
= — ^^^^- Clin
2v5ijiy ^- çTin
UtH 1.. ItAniII'.UEU.
clic a liiiiic |t(mi- valeur
Du (lévcloppoinent connu
arclatigx = x— -5- + -? ^-•
on ilcduil, en posant.r^i,
7t III
^r.arctang. = .- 3 + -.--+.
ie second écart moyen a donc pour râleur
il est proportionnel à la racine carrée de la fonction d'instabilité et égal au premier écart moyen multiplie par - •
Si le jeu est uniforme, le second écart moyen a pour valeur
il est proportionnel à la racine carrée du nombre des parties.
.38(î. Second écart probable. — Le second écart probable est celui (|ui a autant de chances d'être ou de ne pas être dépassé dans le cours (le a parties.
Il est donc défini par la rclalion
dont on déduit
» U,. <li fil -* / '
m :zz 0,8062 . . .\J(f(lJ.).
Le second étarl probab ',- est proportionnel à la racine carrée de la fonction d'instabilité; il est égal au premier écart probable multiplié par
On coiuprend la difTérencc entre les deux écarts probables : le
CALCUL DES PUOliAlilLITF.S. aSo
premier a des chances égales d'être ou de ne pas être dépassé à la p.*'-""- partie, tandis que le second a égale prohabilité d'être ou de ne pas être dépassé pendant les [x parties.
Lorsque le jeu est uniforme, le second écart probable est proportionnel à la racine carrée du nombre des parties; il a pour valeur 0,8062 \/[J.9i.
387. Seconds écarts isoprobables. - Considérons un écart maximum m, tel que la probabilité pour que cet écart ne soit pas dépassé soit égale à un nombre donné u. On doit avoir
En posant— 7 — - = A-, cette éççalité devient
-^ (e-"''— 3f -5>'+ 5e-2^"'-- . . . ) dl = a.
U étant constant, , l'est également et m est proportionnel à
\/çi(Lt). Donc
Les seconds écarts isoprobables sont proportionnels à la racine carrée de la fonction d'instabilité.
388. Écarts principaux. — Lorsque a parties doivent être jouées à un jeu équitable par deux joueurs possédant une fortune infinie, six écarts, parmi l'intinité des écarts qui peuvent se produire, sont particulièrement intéressants.
L'écart probable [0,47(39. . . v'ç'(tJ^)] est celui qui a égale probabilité d'être ou de ne pas être finalement dépassé.
L'écart moyen [o,5642... v'ç.(t;.)J ou valeur moyenne île l'écart final considéré en valeur absolue.
L'écart 0,642... \/9(a) est celui qui a la plus grande prol ahililé d'être l'écart maximum dans le cours des \i. parties.
UGO !.. llAC.IIFI.nil.
L't'catI (|ii;nli;ilit|iic 0,7071 .. . \/!p(a) correspoiul au poinl (rinllcxion (le lu ciiiiiIh' lies prnlialiilih's liiialcs.
!.(> second fcar( jiroltahlc [ o.HoC!'.!. . . v'9([Ji')j fsf coliii qui a égalo probabilité d'ètru ou île ne pas être dépassé dans le cours des a parties.
I.e second écart moyen [0,8862... y cp (,".)] est la valeur moyenne du plus grand écart (jui se produit dans le cours des [x parties.
'.iH\). Durée probable. Dans les problèmes que nous venons de résoudre, le nombre des parties était donné; nous allons maintenant étudier les problèmes inverses relatifs à la durée du jeu, en supposant les fortunes connues.
I.e nombre a (jui correspond à la partie donnant la plus grande probabilité pour la ruine du joueur .\ est obtenu par la formule
L" même nombre relatif au joueur B s'obtiendrait par la résolution de l'équation
Le nombre de parties le plus probable pour la terminaison du jeu serait
■;^(P(i,m,«+ ' lJ.,n,«i) — O-
390. Le jeu étant supposé uniforme a pour durée moyenne (n° 401 )
Yi
La durée probable du jeu. autrement dit le nombre probable des parties jouées, est donné par l'équation
• [i,/",n ~1~ ' a, II, m — ~ '
En particulier, si // /;/, la durée probable du jeu est a ^ ^-^^;^-!—//=';
elle est plus petite que la durée moyenne, égale à —^ — > et elle est environ
trois fois plus faible qu'elle ne le serait si l'un des joueurs avait une fortune infinie (n° 330), l'autre possédant toujours la fortune m.
391. Cas général de l'uniformité. — Le joueur k possédant la somme m et le joueur B la somme n, quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à la u.'^""' partie par la ruine du joueur A?
Nous ne supposerons plus que le jeu est équitable, mais nous supposerons qu'il est uniforme.
Si le joueur B possédait une fortune infinie, la probabilité de ruine du joueur A à la u.'''°^*' partie serait (n" 343)
nie i^
nji.,,,,. = — 7= — , di^-
Lorsque le joueur B possède la somme n, la probabilité cherchée a pour valeur
"|jL,/n.n — ^|i,'",
Wi-i-2rt,ao
V /« -*- i rt i
3/rt+2'J,
se
5/H-t-Vn,
.ao
nj.
392. En effet, la probabilité Tl^,,„^„ est égale à la probabilité ITa,„,.. diminuée de la probabilité relative aux cas où le joueur B est ruiné avant la fin des a parties.
Le joueur B peut être ruiné à la partie d'ordre u,, (a, < a); celte éventualité, d'après le principe de la probabilité composée, diiuiiiuc Iljt.m.^ de la quantité
