IJ-P
Le nombre entier/?, compris entre deux limites dont la différence /> -i- y est égale à l'unité, est donc déterminé, sauf dans le cas où \j.p-\-p est entier; alors [xp — q est aussi entier. Deux termes consécutifs dans le développement de {p -^ qY sont égaux entre eux. On peut dire, en négligeant la fraction, que [xp est le nombre le plus probable d'arrivées pour l'événement dont la probabilité est/^; le nombre d'arrivées le plus probable, pour l'événement dont la probabilité est q.
3o I- UAr.lIFI.IEK.
est
La combinaison dont la probahililé est la plus grande est donc celle dans laquelle les e^'énements se produisent en nombre proportionnel à leur probabilité.
45. La probabilité d'un événement est p, on fait a épreuves identiijues. ([uelle est la valeur niovcmie du nombre des arrivées de cet événement?
Par déiinilion (n" 16) cette valeur moyenne est
-+■ n , , ^ -, p" r/H--" + . . . |- 1 un/jV--^ + o X 'J^-,
ni ((j. — n)\
on peut l'écrire
La valeur moyenne est donc \j.p.
La valeur iip du nombre d'arrivées de l'événement n'est pas seulement la valeur la plus probable, c'est aussi la valeur moyenne du nombre des arrivées de cet événement.
46. On peut arriver au même résultat sans faire aucun calcul et sans connaître l'expression des probabilités.
La probabilité de l'événement étant p, chaque nouvelle épreuve augmente la valeur moyenne de la quantité/;. Cette valeur moyenne pour a épreuves est donc a/>.
47. Cas d'épreuves dissemblables. — Soientjt>,,/>2»/'3» ■■■,pp.^c'i probabilités de l'arrivée d'un événement à la première, la deuxième, la troisième..., la a'*''"*' épreuve.
Soient q,, q^, q^, ..., q^ les probabilités correspondantes pour que l'événement ne se produise pas, de sorte que/7,+9, = i,/?2-l-yn= i, ....
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3l
Quelle est la probahililé pour que l'événement se produise n fois en \i. épreuves?
La probabilité pour que l'événement se produise aux n premières épreuves et ne se produise pas aux [x — n suivantes est, d'après le principe de la probabilité composée.
Pi Pi ■ ■ ■ p„q,t+iqn+f ■ -Va- La probabilité demandée est, d'après le principe de la probabilité totale, la somme de toutes les expressions semblables obtenues en permutant les lettres, les indices restant fixes. Par exemple, la probabilité pour que, eu trois épreuves, l'événement se produise deux fois est
P\Piqi -+- /'i qiPi + 'hPiPs-
Dans le cas général, la probabilité est la somme de
termes.
La probabilité pour que l'événement se produise au moins n fois en [A épreuves est la somme des probabilités pour qu'il se produise n, /î -I- i, ..., m. fois.
La probabilité pour que l'événement ne se produise [las une seule fois est (j,q.,...q^ et la probabilité pour qu'il se produise au moins une fois est i — q^q.,...q,^.
La valeur moyenne du nombre des arrivées de l'événement est Pt-hp., -h...-{- p^^. En effet, si à une certaine épreuve, la probabilité de l'événement est /j, la valeur moyenne se trouve augmentée par le fait de cette épreuve de la quantitée p. La valeur moyenne en jx épreuves est donc bien p, -h p-2 +--- + /V.
On doit remarquer que la probabilité pour que l'événement se produise n fois est indépendante de l'ordre des épreuves.
48. Cas de plusieurs alternatives. — Trois événements s'excluant muLuellement peuvent se produire : la probabilité du premier est p, celle du second est q, celle du troisième est r, de sorte que p -\- q -\- r = i. On fait [i. épreuves dans les mêmes conditions : quelle est la probabilité pour
32 L. IIACIIELIER.
que le premier événement se produise n /ois, le second m fois et le troisième UL — m — n fois ?
lin raisoniiaiil coinnic an ii" 1*2, on est condiiil à la ioriiiiilo
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«!/«!( fi — m — /« ) !
[ji <!"• rV—'"-
49. Par lin raisonnement analogue à ccini ilu n" il, on pronvorait que, si l'on l'ait a épreuves, la combinaison la plus probable est celle pour la(|nello les événements se produisent en nombre proportionnel à leur probabilité; la combinaison pour laf|uello n=zu.p, m ^ \i.q ^ — m — n ^ a/'.
La valeur moyenne du nombre d'événements de probabilité /> en [ji épreuves est [jL/7, carie raisonnement qui a été employé dans le cas où deux événements sont seuls possibles ne suppose aucune liypotlièse sur le fait de la possibilité d'un ou de plusieurs autres événements.
50. Si, à chaque épreuve, k événements s'excluant mutuellement peuvent se produire, leurs probabilités respectives élant/^,, Z^,. ...,pk\ la probabilité pour que, en [j: épreuves, le premier événement se produise «, fois, le second n.y fois, ..., le A'''"'% ri/, fois est
r pVpV ■ ■ • l'V-
«, ! rtj! . . . /(/.
La plus grande probabilité correspond au cas où les événements se produisent proportionnellement à leur probabilité.
La valeur moyenne du nombre des arrivées du premier événement est a/j,, celle qui est relative au second événement est [xp^, etc.
51. Théorie générale du jeu. — Cette théorie n'étudie aucun jeu en particulier; elle supposse le jeu entièrement connu pour une partie et elle étudie le sort des joueurs au bout d'un certain nombre de parties jouées dans des conditions identiques. Cette théorie se divise en trois problèmes de difficulté croissante ; nous ne considérons dans ce chapitre que le plus élémentaire.
Dans le cas le plus général, on doit supposer qu'un joueur a, pour chaque partie, les probabilités p,, p., p,, ... de gagner les sommes
a,, a,, a,, ..., et les probabilités</,,c/.,y.|, ... de perdre les sommes {3,, flj, pj, .... Dans la plupart des cas, le joueur a deux alternatives seulement à chaque partie : il a la probabilité p de gagner la somme a et la probabilité y = i —p de perdre la somme ,3, de sorte que son espérance mathématique est cap — ^c/.
Trois cas particuliers sont spécialement simples et intéressants :
1° Le cas où le jeu est symétriciue : le joueur considéré a pour probabilité -de gagner où de perdre à chaque partie une même somme
que, |>our fixer les idées, nous supposerons être i franc.
2° Le cas où les enjeux sont égaux : le joueur a probabilité p pour gagner i franc et probabilité q pour perdre i franc:
3° Le cas où le jeu est équitable, c'est-à-dire où y.p — j3^.
52. Premier problème de la théorie générale du jeu. — On suppose deua' joueurs A el B ayant à leur dis/)Osilion une somme indéfinie, jouant un nombre déterminé de parties et réglant les différences à la fin du jeu.
Soient, à chaque partie,/; la probabilité pour que le joueur A gagne et 9 ^ I — /J la probabilité pour qu'il perde.
Nous étudierons d'abord le cas où l'enjeu est i franc par partie et nous chercherons la probabilité ct^„, pour que le joueur A perde m francs en u. parties.
Soient x le nombre des parties gagnées, a — a: le nombre des parties perdues; on doit avoir
( /i — x) — X ^ m d'où
Si le joueur a perdu m francs en ik parties, il a donc gagné
parties et perdu '- parties; la probabilité d'une telle éventualité
est(n°42)
ptl -^- —r-
CJu, „, trr ! p - q - .
;i^ !.. lîAC.Iir.l.IKIl.
l.a |)rol)aliilitc |i(.niMiiu' la |K'rlc soit égale ou supérieure à m francs, (Ml a parties, est
le signe ï s'clendanl aux valeurs de /// «lilléranl de deux unités : m,
!,(> prolialtiliti' lolaic «le |iimIi> du jduciir est
m = li
OU 7 ro
|JL. W
suivant que [i. est pair (Ui impair.
53. Supposons maintenant ([iie le joueur ait. îi chaque partie, probabilité /i de gagner a francs et probabilité q de perdre ji francs; cherchons la probabilité pour que la perte soit w en u. parties.
Le nombre des |)arties gagnées doit être "'^ , "' et le nombre des
lot- Qr ~\— p
parties perdues doit être '^'"^ ~"'- I-"» probabilité du gain étant p, la probabilité pour (pie cet événement se produise ^^^ ^ fois en a épreuves est
La quantité donnée m doit évidemment être telle que ^^o soit
entier.
La probabilité pour que le joueur perde plus de m francs est
