Si l'on suppose l'uniformité, on a
a= k \ft.
La valeur de la prime simple doit être proportionnelle à la racine carrée du temps.
Hlle permet de calculer le coefficient k.
Nous avons vu précédemment que certains résultats sont indépendants de la fonction d'instabilité. Si l'on traitaitdes primes pourtoutes les échéances t, on connaîtrait la fonction o(^z) et par suite les probabilités pour toutes les valeurs de t ; en réalité, on ne traite des primes que pour certaines échéances /,, /,, /,, ..., de sorte que, si l'on veut calculer les probabilités pour des époques intermédiaires, on doit faire une hypothèse sur la forme de la fonction o{i).
L'hypothèse la plus simple consiste à supposer que ©(i) est proportionnel à t, c'est-à-dire à supposer l'uniformité.
Les résultats que nous obtiendrons dans notre étude seront ainsi de trois sortes :
1° Ceux qui sont invariables (par exemple, la probabilité de réussite du preneur de prime simple);
2° Ceux qui sont relatifs à une époque t^ pour laquelle on traite une
oqa i- lîAf.iir.i.iKK.
primo. Dans t-c cas lesprnbabilitcs sont connues sans qu'aucune hypothèse soit nécessaire; on ni'conniiit pas o(t), mais on connaît 9(/,)qui entre seul dans l'expression des probabilités.
3" Ceux qui sont relatifs à une é[)Oi|ue pour huiuelle on ne traite pas de primes et qui supposent la loi de l'uniformité.
''i-'ii. Le stellage ou double prime est formé de l'achat simultané de deux primes simples, l'une à la hausse, l'autre i\ la baisse.
Il est facile de voir (jue le preneur de stellage est en bénéfice dans les intervalles des cours : ia, -i-^ et —lo, — co. Donc, d'après la Table de probabilité (n° 427),
La probabilité du preneur deslellage est o,!\iS. ...
442. Les primes en général. — Dans l'achal ou la vente ferme, acheteurs cl vendeurs s'exposent à une perte théoriiinement illimitée. Dans le marché à prime, l'acheteur paye le titre plus cher (jue dans le cas du marché ferme, mais sa perte en baisse est limitée d'avance aune certaine somme qui est le niontanl de la prime.
Le vendeur de prime a l'avantage de vendre plus cher; mais il ne peut avoir pour bénéfice que le montant de la prime.
On pourrait également traiter des primes à la baisse (jui limiteraient la perte du vendeur; dans ce cas, l'opération se ferait à un cours inférieur à celui du ferme.
On ne traite pas ces primes dans la spéculation sur les valeurs; on obtient une prime à la baisse d'un genre un peu dilï'érent en vendant ferme et en achetant simultanément une prime à la hausse.
Pour fixer les idées, je ne m'occuperai que des primes à la hausse.
Dans une prime il v a trois (juantités à considérer : l'importance h de la prime, c'est-à-dire la somme maxima ([ue veut risquer l'acheteur; le cours / auquel la prime est négociée qu'on nomme Vécart de laprime; enfin l'époque de l'échéance.
Il est d'usage de dire qu'un spéculateur a acheté une prime dont h pour exprimer (ju'il a acheté une prime dont l'importance est h.
L'achat à prime est assimilable à un achat ferme eifectué au cours /, le cours ne pouvant baisser au-dessous de / — A = m.
CALCUL DKS PROBABILITÉS. 293
Quand, en réalité, à l'époque de l'échéance, le cours est inférieur à rn, la perte de l'acheteur est constante et égale à h.
En d'autres termes, dans l'intervalle de cours — ac, -\-m (nous supposons/w positif pour fixer les idées), la perte est constante et égale à h. De m à m -h h, la perte décroit de h à zéro. A partir du cours m -h h, l'acheteur gagne proportionnellement à la hausse.
La prime simple dont nous avons fait l'étude rentre dans la définition générale; on peut dire que c'est une prime dont l'importance est éffale à l'écart.
443. Il est évident que, si l'on considère une même échéance, l'écart d'une prime est d'autant plus élevé que l'importance de la prime est plus faible.
Une première question se pose, question que j'ai résolue plusieurs années avant que je ne me sois occupé d'études sur le calcul des probabilités : Est-il possible, en admettant uniquement que l'écart d'une prime diminue quand son importance croit, qu'il existe des opérations permettant à un spéculateur de gagner à tous les cours?
En choisissant convenablement les rapports des écarts de trois primes, on pourrait imaginer une infinité d'opérations permettant de gagner à tous les cours.
Les écarts qu'exigent ces opérations ne sont pas en désaccord avec le bon sens, et, si le marché ne réalise jamais ces écarts et n'en approche même pas, c'est qu'à son insu il obéit à la loi de la probabilité.
444. Pour trouver une relation entre l'importance h d'une prime et son écart m -h h, nous appliquerons à l'acheteur de prime le principe de l'espérance mathémati(jue :
L'espérance mathématique totale de toute spéculation est nulle.
Soit CT la probabilité du cours x à l'époque de l'échéance /. Nous allons évaluer l'espérance
1° pour les cours compris entre — ao et m, 1° pour les cours compris entre m Qim -\- /;, 3" pour les cours compris entre m -\- h et -h x;.
2()4 ^- BACIIELIFJt.
I" Pour les cours compris cnirc — ac et m, l'aclii'lciir siilùt une perle //. Son espérance m:i(lu'nia(ique pour un cours compris dans l'iiilrrviillc (liuiiic est — tn// ; elle est donc pour tout l'intervalle
— // / TS ci.r ;
2" l'iiiir un cours J7 compris entre /n et //( + //, la perte de l'acheteur est m-h/i — x; l'espérance nialiiéinatique correspondante est — Gi(w -H // — .»■), et pour Idiil l'intervalle elle est
I CT ( ni -I- /( — a:) dx ;
3° Pour un cours x compris entre m -\- h et ao, le bénéfice de l'acheteur est v — m — h; l'espérance mathématique correspondante est tD(.r — m — h) et pour l'intervalle entier
/ ro ( ^ — ni — /( ) dx.
Le principe de l'espérance totale nous conduit donc à la relation I J7s(x — m — h)dx — / CT {/«-(-/( — x)dx — /( / Tsdx^=.o,
ou, en faisant les réductions,
h -h m I ms dx ^ / tsx dx.
^ m ^ II!
Cette équation aux intégrales définies établit une relation entre l'écart et l'importance d'une prime; on l'aurait obtenue de même en supposant m négatif.
