Si, dans celte équation, on remplace tu par sa valeur

iT.a

4 7lrt'

et, si l'on développe l'intégrale en série, on obtient

1 liT.a gÔTt'a' i9207:'a'

CALI'.l'L DES PROBABILITES. 29Ô

Cette formule, qui exprime la loi des écarts de prime, fournit une relation entre l'importanee h de la prime, son écart m -t- A, et l'importance a de la prime simple relative a la même échéance; elle permet donc de calculer l'une quelconque de ces quantités quand on connaît les autres.

Si, par exemple, m et m + h sont connus, la série précédente permet de déterminer a.

Pratiquement, l'importance de la prime est toujours comprise entre

7 et 3a. Il en résulte qu'on peut, dans la formule précédente, supprimer les termes en m^ et en m". On obtient aussi

r.(ih ^ m}± \jv?- {-2 h -h m)- — '^r.m-

Avec cette même approximation on aura pour valeur de m en fonction de a et de h

Cette dernière formule est très recommandable pour les calculs numériques, maiselleprésente deuxinconvénients : elle n'est pasfacilement exprimable en langage ordinaire, et elle nedonnepasune idée suflisamment claire des variations de l'écart et de l'importance des primes. Les formules que nous obtiendrons, inférieures à la précédente au point de vue du calcul numérique, ont, par contre, l'avantage d'être très expressives et très simples.

446. On peut introduire dans la formule complète du n" 445 la valeur l = m -\-h Ae l'écart de la prime ; la formule devient alors

li + l — a {l—hy- .(/— /()' {/—/lY

2 4-a ç)6-.-a^ iQ2or.^a

elle ne change pas si l'on remplace / par h et h par l ; donc, si l'écart de la prime dont h est /, réciproquement, l'écart de la prime dont / est h.

Ce ihéorcme de réciprocité peut se démontrer sans faire appel à aucune formule analyti(jue; il suffit de supposer qu'un spéculateur achète une prime dont h à l'écart / et vende ferme simultanément; on

2l)() L. l!.\(".IIKLIi:«.

voit sans (liriiciiUé qiif la rcsullaiile de celte double opération csl une |ii iiiii" à la baisse dont l'importance est / et dont l'écart est h.

Les deiix opérations coniposaiilos étant équitables, leur résultante l'est éjialfinent, ce qui démontre le théorème de réciprocité.

Dans la formule complète dn paraj,M-aphe 445,

2 4;:rt gOTiV/^ i9.>.0 7:''a'' on peut remplacer /* par /: on obtient ainsi

2 f\T:a gÔTT^rt-' 19207:^0'^

447. L'écart d'une prime augmentant ([uand son im[)ortance diminue, il est intéressant d'étudier la variation du produit de ces quantités.

Les formules (i) et (2) peuvent s'écrire

h— a + Am), /=aH + f{m).

Le produit A/ a pour valeur

a'-- — + 2af{m) + [f(m)Y\

sa dérivée relative à m

— ^-^2aJ'(in) -h 2j\ni)/'{m)

s'annule quand 772 = 0, car, pour cette valeur,/' est nul; alorsA = / = a.

Le produit d'une prime par son écart est donc maximum quand les deux facteurs de ce produit sont égaux ; c'est le cas de la prime simple.

En multipliant les séries (i) et (2), on a d'ailleurs

/2\ A/ ■> {r. — 2)m'- \ni'

(3) hl=za- 7