gÔTT-a
On pourrait poser en première approximation
le produit d'une prime par son écart serait alors constant.
Si l'on donne a et h, la valeur qu'on obtient pour l'écart / par la formule précédente est trop grande.
Si l'on donne h et /, la valeur qu'on en déduit pour a est trop faible.
Si l'on admet la loi précédente et l'uniformité, a'^k-l, et, si l'on considère des primes de même importance /*, leur écart / est proportionnel au temps.
448. La loi précédente n'est pas suffisamment approchée; on obtient, au contraire, une loi très approchée en procédant de la façon suivante :
Ajoutant les séries (i) et (2), on obtient
Il -T- l = 2a
4'i:« gO-'a' igao-^a'
Multipliant cette série par la série (3), on a
2(~ — 'i)am- (12- — 3o)//r
hl{h-i-i) — 2a .,
4tc 9fc>--a
ou environ
/il{h -h l) ^ 2a^ — 0,0225 «m- — 0,0081 — — h . . . .
On peut poser en seconde approximation
hl{h + l) — 2a\
L'erreur commise est très faible lorsque m n'a pas une grande valeur, ce qui est le cas ordinaire. Par exemple, si m = a, l'erreur du second membre est inférieure à -^.
La loi de seconde approximation peut s'énoncer en langage ordinaire d'une façon très simple :
On mulliplie la prime par son écart.
On additionne la prime et son écart.
Le prodait de deux nombres est le même pour toutes les primes relatwes à la même échéance.
449. Pour donner une idée de l'approximation obtenue par les formules précédentes, plaçons-nous dans les conditions les plus défavo- B. - I. 38
2Ç)8 !.. nvc.iir.i.irn.
ralilt's (iiroii puisse ronrontror |)rali(|uoment et supposons (|u"il s'agisse
(II' ilcliTMiiiier l'ccarl d'nue très petite prime, h = -^^
I,a lorimile de première approximation du u" ^'\~ (loiiiic la vali'iir beaucoup Irop ^'raude /= l^n.
La l'oriiuile de sccdiulc approximation du n" ''1^18 conduit à la valeur 2,28a.
La formule approchée du n" 445 donnerait 2,2Srt.
La valeur exacte est /= 1,1^0.
En général, les données du problème ne sont pas a et A; 011 donne l'écart/, de la prime dont /»,, et l'on demande l'écart /de la prime dont /(.
On em|)loie alors la lornuile
Cette égalité est excessivement approchée surtout lorsque h est voisin de /, , elle serait rigoureuse si A était égal à /, . Dans ce cas d'ailleurs, la formule de première approximation A/ = A,/, serait rigoureuse également, d'après le théorème de réciprocité.
450. Pour pouvoir appliquer ces formules, il importe de remanjuer que l'écart 1= m-\- A n'est pas exactement celui qui est fourni par les cotes et qu'il peut en différer d'une façon sensible. Nous avons parlé du cours vrai (n" 43.')); l'écart /= /?2 + A est l'écart vrai, c'est-à-dire la diOcrence entre le cours de la prime et le cours vrai correspondant à l'époque de l'échéance.
Nous n'avons pas ici à étudier ces questions. Qu'il nous suffise de remarquer le parfait accord entre la théorie mathématique et l'observation des cotes; (ju'il s'agisse des rapports des écarts des primes ou de leur probabilité de réussite, qu'il s'agisse des problèmes très différents que nous étudierons dans le prochain Chapitre ou d'une application quelconque de nos formules, les divergences des résultats obtenus par les deux méthodes sont toujours très faibles si l'observation porte sur un nombre de cas suffisant.
C'est parce que le marché de la rente ne semble suivre aucune loi qu'il suit fatalement la loi du hasard.
451. Facultés. — On traite sur certains marchés des opérations en quelque sorte intermédiaires entre les opérations fermes et les opérations à prime : ce sont Xa, facultés.
Supposons que 3o'''' soient le cours d'une marchandise. Au lieu d'acheter une unité au cours de 3o'''' pour une échéance donnée, nous pouvons acheter une faculté du double pour la même échéance à 32'^'', par exemple. Il faut entendre par là que pour toute différence au-dessous du cours de 32'^'' nous ne perdons que sur une unité, alors que, pour toute différence au-dessus, nous gagnons sur deux unités.
Nous aurions pu acheter une faculté du triple à 33"', par exemple, c'est-à-dire que, pour toute dinerence au-dessous du cours de 33*^'', nous perdons sur une unité, alors que pour toute dilTérence au-dessus de ce cours nous gagnons sur trois unités. On peut imaginer des facultés d'un ordre multiple.
On traite aussi des facultés à la baisse, nécessairement au même écart que les facultés à la hausse du même ordre de multiplicité.
452. Appliquons le principe de l'espérance mathématique à l'achat d'une faculté d'ordre n traitée à l'écart r.
La faculté d'ordre n peut être considérée comme se composant de deux opérations :
i" Un achat ferme d'une unité au cours /•;
1" Un achat ferme de (n — i) unités au cours /•, cet achat n'étant à considérer que dans l'intervalle r, oo.
La première opération a pourespérancemathémati(iue — r; laseconde a pour espérance
( /t — I ) I m{x — r) dx.
On doit donc avoir
/• 1= ( « ^ I ) / js{x — /• ) f/x,
ou, en remplaçant ro par sa valeur,
I ~ 4 un'
