PROBABILITÉS DU SECOND GENRE
455. Nous désignerons comme précédemment par <S la probabilité pour qu'un cours donné soit atteint ou dépassé à l'époque /. f est la probabilité du premier genre. P désignera la probabilité pour ([ue le cours considéré soit atteint ou dépassé dans rintorvalle de temps /, c'est-à-dire avant l'époque t. P est la probabilité du second genre.
[m probabilité pour qu'un cours soit dépassé à l'époque t est la moitié de la probabilité pour que ce cours soit dépassé dans l'intervalle de temps t.
En elFet, le cours ne peut être dépassé à l'époque t sans l'avoir été antérienrement. La probabilité ^ est donc égale à la probabilité P, multipliée par la probabilité pour que, le cours étant coté à une époque
antérieure à t, soit dépassé à l'époque /, c'est-à-dire multipliée par -• On a donc
La probabilité pour que le cours c soit dépassé pendant l intervalle de temps t a pour expression
VnJo
ou
t2 ypka
SJTlJo
3()2 !.. llACIIEUEn.
'i.M;. Si aiiciiiii' liiiiili- n'fsl lixée pour le d-mps /, la tbrimilc (loniio 1' = I ; dans ce cas, r('p(i(iiu' iiiovcnno à ImiiucIIo le cours cs(altoin( est inliiiic. coMimo uous le vciinns (u" 472).
'i.")7. Quelques applications. — Les Tables de la fonction 0 pernii'llcnt (le calculer la l'ouclion
mais il est généralenienl beaucoup plus simple d'avoir recours à la Table de probabilité du paragraphe 427, dont il suffit de doubler les chillVes puisque P = -l'iù.
'lôS. CherclioMs, par exemple, la probabilité pour (|ue l'écart de la prime simple a soit atteint avant l'échéance de cette prime.
La probabilité a' relative au cours a est (n"427) o,34'> ; donc la probabilité P relative au même cours est 2 x o,345 = 0,69.
Il faut bien rcmar(|ncr (|iie cechilfre exprime la probabilité pourque l'écart a soit atteint dans un sens déterminé, à la hausse, par exemple. La recherche de la probabilité pour que l'intervalle ±a soit dépassé avant l'époque / dans un sens quelconque constitue un problème beaucoup plus compliqué, qui sera résolu plus loin (n" 477).
459. Cherchons encore la probabilité pourque l'écart aasoitatteint (dans un seul sens), avant l'époque l.
La probabilité ^f relative au cours 2a étant o, 21 3, la probabilité P relative ail même cours sera égale au double de celte quantité, soit 0,425.
La probabilité pour que l'écart de la faculté du double soit atteint est 0,78. Pour la faculté du triple, la probabilité serait 0,66.
4ti0. Probabilité élémentaire. — Nous avons désigné par cï la probabilité pour qu'un cours soit coté à l'époque t; c'est la probabilité élémentaire du premier genre. Nous désignerons par II la probabilité pour que ce cours soit coté pour la première fois à l'époque t, c'est-àdire la probabilité élémentaire du second genre. Il est donc la proba-
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3o3
bilito pour que le cours soit coté à l'époque t, ne l'ayant pas été auparavant.
On a évidemment
par suite,
n.// = P ou ni=^,
xv^^X^ni^,,.
Telle est l'expression de la prohabilité pour que le cours c soit atteint pour la première fois à l'époque t.
o'(t)dt est la fonction d'instabilité relative à l'instante (c'est-à-dire à l'intervalle de temps /, / -hdt); la probabilité pour qu'un cours soit atteint à un certain instant est donc proportionnelle ii la fonction d'instabilité relative à cet instant.
Si l'on suppose l'uniformité, on a
n = dt.
2 T. kt \Jt
461. Distribution des probabilités. — La connaissance de la probabilité pour que le cours c soit atteint à une époque donnée ne résout pas d'une façon complète le problème que nous nous sommes proposé; il nous reste à étudier le cas où le cours c n'est pas atteint avant l'époque /.
Nous allons cbercher la probabilité pour que le cours soit c — y à l'époque /, le cours c n'ayant jamais été atteint avant l'époque /.
On peut supposer par exemple qu'on achète de la rente pour La revendre avec un bénéfice c avant l'époque t; le problème actuel consiste à chercher la probabilité pour qu'on réalise ii l'épocjuc t le gain c — y si la revente n'a pu être effectuée, le cours c n'ayant pas été atteint.
Lorsque le cours c est atteint, il y a, par suite de la symétrie de la probabilité, autant de chances pour qu'il se produise, à l'époque /, un nouvel écart + j qu'un nouvel écart —y.
3o4 '-• ltAi:ilFl.lKK.
La possibilité, pour le spéculateur, de réaliser son opération au cours r suppiiiii(> donc pour lui, en inènic temps que la probabilité du ain c-\-y une probabilité égale pour le gain r — y.
La possibilité de la réalisation au cours c diminue donc la probabiilé cj.. , du cours r - v de la quantité cie+j.
La probabililc du cours c —y à l'époque t est donc
tSc-y — '^c+y
OU
[ .r' Hc-J-I' "j
iTza
X désignant le cours rapporté à l'origine ordinaire.
Nous connaissons maintenant les probabilités pour que le course soit atteint à toutes les époques entre zéro et t et toutes les probabilités relatives à l'époque <; nous connaissons donc d'une façon complète la distribution des probabilités.
462. Pour obtenir le cours dont la probabilité est la plus grande, dans le cas où le cours c n'a pas été atteint, il suffit de poser j- = o; on obtient ainsi
Si l'on suppose c — a, on obtient
si l'on suppose c = 2a, on obtient
Enfin, on obtiendrait si c était égal à 1,330.
463. La probabilité dans l'intervalle zéro, + u, a pour valeur
U est intéressant d'étudier le cas où u — c pour connaître la pro-
CALCUL DES PliOCAUILITÉS. 3o,T
babilité de bénéfice d'un achat ferme lorsque le cours de revente n'a pu être atteint.
Dans l'hypothèse où u = c, la formule ci-dessus devient
il ,, I2r — .1-1'
— le d.v / e dx,
■>.T.ii I 2~a 1
ou, en posant dans la première intégrale — :=- = A et dans la seconde — p — = A,
ou encore
ou enfin
■^ '- C "•" "^ 2ri
c étant exprimé en prenant a pour unité et <P se calculant d'après la Table du paragraphe 427.
464. Si c—a, la probabilité est o,o'24- Si l'écart a n'a jamais été atteint dans l'intervalle t, il n'y a que trois chances sur cent pour que, à l'époque t, le cours se trouve compris entre zéro et a.
Si c = 2a, la probabilité est 0,127; l'écart 2a n'ayant jamais été atteint dans l'intervalle ï, il y a treize chances sur cent pour que, à l'époque t, le cours se trouve compris entre zéro et ia.
465. Espérance mathématique. — Nous supposons comme précédemment qu'il s'agit d'un spéculateur qui achète de la renie au cours actuel pour la revendre quand le cours est c ou pourla revendre à l'époque / si le cours c n'a pas été atteint avant cette époque L
L'espérance positive se compose de deux termes ; l'un cP correspond au cas où le cours c est atteint avant l'époque l; l'autre
f J^\e~^^ - e" "^^^^1 dx
■io(î
I,. IIAC.IIK.I Il-ll.
fst ri'latil au cas où le cours est compris entre zéro ol c à l'époque /. L'espérance positive a pour valeur
-.IJtri
Lorsque r tend vers l'inlini, T tend vers a.
46fi. Vvcarl moyen relatif en baisse, lorsque le cours r n'est pas atteini, a |iour valeur
/ Tsxda- r
Tsdx
P, désignant la (|uanlité / tnr/./;.
L'écart moyen a donc pour valeur 2,54» lorsque c = a et i,\()a lorsque c = -la.
Si l'on suppose c = x, on voit que l'écart moyen est égal à ia, résultat déjà obtenu.
467. Époque de la plus grande probabilité. — La probabilité pour qu'un cours donné c soit atteint à l'époque / est, en supposant l'unirorinilé (n" 460),
2 T. lu v'7
Pour déterminer l'époque t à laquelle correspond la plus grande probabilité, il suffit d'annuler la dérivée par rapport à l de cette expression, c'est-à-dire de poser
d'où
67rA-*
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3o7
