Supposons, par exemple, que c = k\t, — a; nous aurons
L'époque la plus probable à laquelle est atteint l'écart de la primo simple est située au -^ de l'époque de l'échéance de la prime.
Si c = 2k V t. = ia, on obtient t = ^ —
' ôt:
L'époque la plus probable à laquelle l'écart d'une double prime ou écart moyen est atteint est située au { de l'époque de l'échéance de la prime.
469. La probabilité P correspondant à l'époque f = ^^^v^ a pour
c- ÔP
valeur 0,08. Lorsque t croit de zéro à^— t^> la probabilité II =-7- pour
que le cours c soit atteint à l'époque t croit très vite jusqu'à son maximum. Os probabilités croissantes ne représentent que les -^ de la totalité.
470. Époque probable. — U époque probable absolue k laquelle le cours c est atteint est définie par l'équation
on en déduit
L'époque probable absolue varie, de même que l'époque la plus probable, proportionnellement au carré de la quantité c, et elle est environ six fois supérieure à l'époque la plus probable.
47 1. L'époque probable relative a une durée t et au cours c, époque que nous désignerons par T, est définie par l'équation
OU
■i\Jr.k\J'Vj \i\jT.k\J l
3o8 t.. ItACIlKl.ll'.U.
si, |>ari'\('iiijilf, f /•\ /, la rorimilc donne T = o,i8/. Donc, lorsque réeaii ilc l;i |)rinie simple est alteint, il l'est, dans la moitié des cas, dans le premier cinquième de la durée de l'opération.
Si C- — .>X\7, nous Irouvons T - o,V-i/- Donc, lorsijue l'^'cart de la double prime ou si l'on veut l'écart moyen est alleiat dans un sens déterminé, on peut parier à égalité qu'il a été atteint dans les quatre premiers dixièmes de la durée de l'opération.
l.'ép(i(|ue proitable relative serait 0,11/ pour l'écart de la faculté du tloiiitle et 0,21/ pour l'écart de la (acuité du triple.
Kniin l'épociue probable serait à la moitié de la durée totale si c
était égal à a,:")/- v '•
472. Epoque moyenne. — Lorsqu'un événement peut se produire à dillcrenles époques, on appelle époque moyenne de l'arrivée de l'événement Va ■fiommo des produits des probabilités correspondant aux époques données par leurs durées respectives.
La durée moyenne est la somme des espérances de durée.
Si aucune limite n'est fixée d'avance pour la durée, V époque moyenne •A laquelle le cours c est dépassé est définie par l'intégrale
r ô? ^ C ce '"*'' ,
/ l—-dt—\ -i^dt;
Jo "'■ -^0 2T:k</t
en posant elle devient
liT.k-l
Cette intégrale est infinie.
L'époque moyenne est donc infinie.
473. Occupons-nous maintenant du cas où la durée est limitée à l'époque t; nous appellerons e/joy/zemoye/jne/e/a^ù'e l'époque moyenne à laquelle le cours c sera atteint quand il le sera.
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3o9
Cette durée moyenne a pour valeur l'intégrale
En posant
ûr.k-t'
l'intégrale devient
2 v'TIA y (
Transformons-la en remarquant que de l'égalité f e-''d'/.— f -^e-''2ldl
on déduit, en intégrant par parties,
L'expression proposée devient alors
C \ t- a itA-'/ ^ C^
P t:/. 27rA:^
474. Lorsque la durée est limitée à l'époque l, Vépoque moyenne absolue est définie par la formule
dt-^l{i — V).
L'intégrale a été calculée au paragraphe précédent; l'expression complète peut s'écrire
Lorsque t est très grand, elle se réduit sensiblement à
elle est proportionnelle à la racine carrée du temps.
3io !.. n.\r,iiF.i.iEn.
l,ors(Hi(> / aiigmciUc indôfiniment, elle tend vers l'infini, rc-sultal déjà obtenu.
'i7."). Écart maximum. - Quelle est la probabilité pour (|ue le cours r soit le plus haut cours coté dans l'intervalle de temps /?
La probabilité cherchée est la dilï'érencc entre les probabilités pour (]ue les cours r et c -t- de soient atteints ou dépassés, c'est-à-dire
de Tia
: 2CJ.
La probabilité pour qu'un cou?'s soit le plus haut coté dans l'intervalle de temps t est le double de la probabilité pour que ce même cours soit roté à l'époque t.
'iHS. On pourrait imaginer une nouvelle sorte de prime : moyenn;inl le paiement d'une certaine prime, on toucherait la diflerence entre le cours actuel et le plus haut cours atteint dans l'intervalle de temps/. La valeur de cette prime
ITxSX dx :
devrait être le double de la valeur de la prime simple relative à la même épocjuc.
Une prime de même valeur serait relative à la dillércnce entre le cours actuel et le plus bas cours coté dans l'intervalle de temps /.
En achetant ces deux primes, c'est-à-dire en versant la somme l\a, on toucherait le plus grand écart dans chaque sens, c'est-à-dire la différence entre le plus haut et le plus bas cours cotés dans l'intervalle de temps t.
