PROBABILITÉS DU TROISIÈME GENRE
477. Quelle est la probabilité pour que le cours c {suppose positif pour fixer les idées^ soit atteint et dépassé dans l'intervalle de temps t, les variations en baisse n'ayant jamais atteint un cours donné — b.
Nous croyons utile de présenter l'énoncé sous une forme plus explicite, en l'appliquant à un exemple :
J'achète de la rente (à terme) avec l'intention de la revendre dans un mois si. dans cet intervalle de temps, elle se trouve à un moment donné i*^^ au-dessus de son cours actuel. Voulant limiter mon risque à 2'^'", je m'engage à revendre ma rente si. dans le courant du mois, il se produit une baisse de 2''' au-dessous du cours actuel.
On demande : la probabilité pour que, dans le courant du mois, j'aie pu revendre avec le bénéfice de i*^""; la probabilité pour que j'aie revendu avec -2^'' de perte, et la probabilité pour que, au bout du mois, je n'aie pu faire aucune des reventes.
Nous désignerons par P^.„ la probabilité déjà calculée (n" 455) pour que le cours c soit dépassé en supposant b infini.
Une première approximation consiste à poser
il est évident qu'elle donne pour P^* une valeur trop forte. De toutes les séries d'alternatives de hausse et de baisse qui forment la probabilité P^,, il faut, en elfet, retrancher celles pour lesquelles le cours
— b aurait été franchi à un moment donné. Or, au moment où le cours
— b est atteint, le cours c n'est ni plus ni moins probable par suite de la symétrie de la probabilité que le cours symétrique — (c -1- -j-b).
'ii2 I. l'.M.ini iijt.
Donc, il chaque série (raltcrnalives do hausse ot do haisso ih-passaiit h' cours — h v\\ haisso ol revenant au cours c avant l'époque /, correspond une série ahontissant en baisse au cours — (c -(- ■ih). Kl, cotnnie aucune dos premières n'a dépassé, par hypollièse, l'intervalle r. en hausse, aucune dos symétriques no dépassera l'intervalle — (c-l-2/y) en baisse.
C'est ce qui nous incite à poser en seconde approximation
En retranchant P,+2/...> nous avons retranché à tort des séries qui ont abouti au cours — (c 4- ib) en baisse ayant dépassé d'abord le cours c en hausse. Mais, lorsque le cours c est atteint en hausse, le cours — (c -f- 2/0 n'est ni plus ni moins probable, par suite do la symétrie de la probabilité que le cours symétrique ')<: -\- -ih en hausse.
C'est ce qui nous incite à poser en troisième approximation
En continuant le même raisonnement, nous serons conduits à la série
(]'est la formule fondamentale de notre étude.
Les probabilités P^,j et Pi,^ sont les probabilités du troisième genre.
On peut encore écrire
'178. La probabilité pour(|ue le cours — h soit atteint dans l'intervalle de temps /, les variations en hausse n'ayant jamais atteint le cours c, s'obtiendra en remplaçant dans les formules précédentes h par c et c par h. La probabilité pour que, jusqu'à l'époque /, le cours ne soit pas sorti (le l'intervalle — //, +cest
En différentiant par rapport à / la formule
on obtient la probabilité pour que le cours — b soit atteint pour la
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3l3
première fois à l'époque /, les variations en hausse n'ayant pas précédemment atteint le cours c.
Cette formule peut se démontrer directement comme celle du n"477.
Les quantités telles que ITj.^, sont les probabilités élémentaires du troisième genre. Les probabilités du troisième genre sont exprimées par des séries de probabilités do second genre (n° 460).
479. Si aucune limite n'est fixée pour le temps, c'est-à-dire si / — ao, les expressions des probabilités P prennent la forme indéterminée
Pc.i =1 — 1 + 1 — I-t- I-- I —
Les probabilités se déterminent alors par le principe de l'espérance mathématique. Le spéculateur ayant pour probabilité Pc* de gagner l'écart c et pour probabilité Pj,^ = i — Pc,* de perdre l'écart b, on a
d'où
Pc.(!>^= : — T' Pb,c-'
480. Quelques applications. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d'un grand nombre d'applications intéressantes :
1° Si l'on suppose i = t = a — X- \ / , P„ „ est égal à o,49(^- La probabilité pour que le cours ne sorte pas de l'intervalle est très faible :
1 — 2 X 0,498 = OjOO'l.
1° Lorsque h^c = -la, Paa.on = 0,410; la probabilité pour que le cours reste compris dans l'intervalle ± la est
Si l'on achète une double prime avec l'idée préconçue de revendre ferme si l'écart ia est atteint en hausse, ou de racheter ferme si l'écart la est atteint en baisse, la probabilité pour que l'une des deux opérations puisse s'effectuer est 0,82. Remarquons que V.,a,2a = 0,4 1 alors (jue P,„^ = 0,426. Quand l'écart en hausse et en baisse est supérieur B. — L 4o
3l'| !.. nACIlFXIEU.
à 2a, la probabilité pour qu'un cours soit atteint dans un sens est à peu près la iiirtMc ipio si les variations dans l'autre sens pouvaient être (luelcon(jues.
3° Supposons que c = a et (|ue h ~ 2a; la probabilité pour quo le
cours c soit atteint, 1^,*, est o.ti.ri, et la probabilité pour que le cours
b = — -20 soit atteint est
la probabilité pour que le cours reste dans l'intervalle considéré est
I — o,652 — OjSaS =^ 0,023.
Si nous avions supposé a priori celle probabilité négligeable, nous aurions obtenu par les formules du paragraphe 479 les valeurs très suffisamment approchées
1',,,;^ 0,666 et ?/,.,.=; 0,333.
481. Écart maximum. — Quelle est la probabilité pour que, dans l 'intenalle de temps t, le plus grand écart dans un sens ou dans l'autre ail une valeur donnée c.
La probabilité demandée est
dc('-^P->
ou
-â^^\e ''-se ''"+5e ?"'--e '"■+....
La courbe qui représente la variation de cette probabilité est tangente à l'axe des x à l'origine, et à l'infini, elle présente deux points d'inflexion : i'didonnée est maxima lorsque c = 0,642 . . . y? {t).
La valeur la plus probable de l'écart maximum est 0,642 ...\/z.(t).
Lorsque c est très grand, la série se réduit à son premier terme, et la probabilité pour que l'écart maximum soit c dans l'intervalle de temps t est le double de la probabilité |)our que l'écart final soit c.
La probabilité maxima, c'est-à-dire l'ordonnée maxima de la courbe, décroît comme ,
vVcô
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3l5
Les abscisses des points d'inflexion croissent proportionnellement à \lo (t).
La remarque qui a été faite au n" 384 pourrait évidemment s'appliquer au cas considéré.
482. Second écart moyen. - Nous appellerons second écart moyen la valeur moyenne du plus grand écart existant entre le cours actuel et tous les cours cotés dans l'intervalle de temps t.
Le second écart moyen a pour expression
/ C —-tl + 2l'c,c)(/c
I de
ou
^ ^^ ■ / [ce ?"'-3ce '"' + 5ce ""...Jrfc.
L'intégrale se décompose en une somme d'intégrales de la forme elle a donc pour valeur
v/tt V 3 5 Du développement connu
,y*3 ,y»5 nn'
arc tanff X = a; :r + H.
on déduit, en posant ic = i ,
— = arc tang r = > — - -t- -
Le second écart moyen a donc pour valeur
il est proportionnel à la racine carrée de la fonction d'instabilité el égal au premier écart moyen multiplié par -■
3l() !.. ItAC.IIF.I.ir.ll.
'iS;{. On pourrail iinajiim'r do noiivolles sortes do priiiii' : iikijcmiiaiil l'abaiuloii d'une ccrtaino primo, on loiicliorail lopins grand écart entre le cours actnol et les cours cotés dans l'intervallo de temps/, que cet éear( soil posilifoii négatif.
La valeur de la piiiiie, d'après le résullat du paragraphe précédent, devrait être r.fi.
Nous avons vu (n" 476) que la promesse de toucher la diiïérence enire le plus haut et le plus bas cours cotés pondant le lonips /, c'està-dire la promesse de toucher la somme des deux plus grands écarts dans chaque sens, avait pour valeur 4^. La promesse de toucher le plus grand des deux écarts valant ira, la promesse de toucher le plus petit vaudrait (4 — 7i)a, un peu moins que la prime simple.
484. Second écart probable. — Nous appellerons second écart probable rintervallc dry tel que, pendant le temps l, le cours ait autant de chances de rester compris dans cet intervalle qu'il a de chances de le dépasser.
On doit avoir l\,v -- -> d'où
y ^ 2 , 9 a = o , 8062 . . . \Jo(t).
Le second écart probable est proportionnel à la racine carrée de la fonction d'instabilité ; il est égal au premier écart probable multiplié par 1,7....
On comprend la diiïérence qui existe entre les deux écarts probables : le premier a des chances égales d'être ou de ne pas être dépassé à répo(jue t, tandis que le second a égale probabilité d'être ou de ne pas être dépassé avant l'époque t.
Si l'on suppose l'uniformité, le second écart probable est proportionnel à la racine carrée du temps; il a pourvaleur2,9X- y'/.
Les résultats auxquels nous ont conduit les notions des seconds écarts isoprobables et des écarts principaux (n"^ 387 et 388) sont évidemment applicables au cas considéré; il suffit de remplacer m par c et?(î^)parç(/).
