Époque la plus probable. - Nous venons d'étudier des
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3l7
problèmes dans lesquels nous avons considéré un intervalle de temps fixe et des écarts variables ; nous allons maintenant supposer les écarts fixes et la durée de l'opération variable.
L'époque la p/its probable à laquelle le cours sortira de l'intervalle (c, b) en cotant le cours c sera donnée par la formule
ài^
L'époque la plus probable à laquelle le cours atteindra la limite — b s'obtiendra en résolvant l'équation
L'époque la plus probable à laquelle le cours sortira de l'intervalle (c, b) est donnée par l'égalité
Supposons que c = k \T, , b = -ic = iksjt^ . En résolvant les équations ci-dessus, on vnit que l'époque la plus probable ii laquelle le cours atteindra la limite c est environ le -^ de t^. L'époque la plus probable à laquelle le cours b sera dépassé est 5^,. Enfin, l'époque la plus probable à laquelle l'intervalle (c, 6) sera dépassé est égale aux de ty.
486. Époque probable. — L'époque probable k laquelle le cours sort de l'intervalle c, — b s'obtient par la résolution de l'équation
Supposons d'abord que b= c; on devra avoir, en supposant l'uniformité,
Si, par exemple, c=^ a=^ ^vYi ■) 0» «lura t = ô-^; si c" = 2a — iks^t^ ,
on aura / = — -:■ 2,0b
[US 1.. livciir.i.iEn.
Supposons maiiiliiiinil iinr /> — ■2c; l'époque probable correspond à
c> hc
4, (•)/.- ~ i),xk'
Si, par exemple, c = a = k\Jt, , b = -ikslt, , on aura
487. Époque moyenne. — Le cours pouvant sortir de l'intervalle -H c, — /' à toutes les époques entre zéro et l'infini, X époque moyenne correspondant il cet intervalle est la somme des produits des probabilités pour que le cours sorte de linlervallc à l'époque / par la durée t elle-même.
Nous allons chercher l'époque moyenne à laquelle le cours sort de l'intervalle -h c, — h.
En supposant l'uniformité, l'époque moyenne quand le cours esta; ne dépend que de x et peut se représenter par /(.r).(c >>a;> — /;). Pendant le temps très petit \t, le cours peut varier de la quantité u; la probabilité pour qu'il en soit ainsi est
rdu.
■2Tzk\fKi
Au bout du temps Ai,/{x) est devenu dans cette hypothèse/(aT-hi/). Cela posé, on peut écrire
(i) f{x) = M+ I f(a; + u)du;
en effet, la durée moyenne /(.«) se compose d'abord de l'élément de temps 11, et au bout de ce temps elle est devenue
/{ûc + u) du.
L'équation qui précède n'est donc que la traduction des principes des probabilités composées et totales.
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3lÇ)
La quantité u ne peut varier en réalité que de — (x ~h b) à c — ,r; mais, comme A^ est supposé infiniment petit, les variations de ii sont aussi petites qu'on veut et l'intégrale peut être prise entre des limites infinies.
Développons /(.r -+- u) par la formule de Taylor; on a
Substituant cette valeur de /(x -+- u) dans l'intégrale
-— =/(x-l- i/)dii,
iT.k\JXt
celle-ci se réduit à
ux- Ô.l'
et, comme At est infiniment petit, l'équation (i) devient
£/__^ dx- 7:A-'
d'où
/{x) — — - + mx -h n,
m et n étant des constantes qu'on détermine par les conditions / (c) = G et/( — />) = o; on obtient ainsi
c — b cb
ni ^ — , « =
2 7: A- ir.k-
d'où
-, , x- c — b cb
iT.k- ir./c- ir.k-
La durée moyenne cherchée est/(o), c'est-à-dire
cb
