Reprenons à titre d'exemple le problème suivant
Un achète de la rente avec l'intention de la revendre avec le bènélice
320 !.. MAC.IIKI.IIR.
a = k\ /ou avec la porlc la; on teniiinc l'o|)('ra(ioii si, à rt'pcxnic /, la iTviMile n'a pu avoir lieu. Quels soni les principaux résultats que l'dui iiil le caleul îles prohabilités sur cette opération?
La prohaltililé de revente avec le bénéfice a est o,()52.
La probabilité de revente avec la perte xa est o.^a;).
La probabilité pour (jue la revente n'ait pas lieu avant répo({ue / esto,o'23.
L'époque la plus probable de la revente avec le bénéfice a est -g-
L'époque la plus probable de la revente avec la perte 'la est -rt. L'époque probable de la revente est j-^- L'époque moyenne est —
489. Distribution des probabilités. — 11 nous reste à achever la résolution du problème de la distribution des probabilités, c'est-àdire à chercher la probabilité pour (jue le cours soit a; à l'époque /,les variations antérieures n'ayant jamais dépassé l'intervalle — b, -f- c.
En se basant, comme nous l'avons fait pi'écédemment, sur de simples raisons de symétrie, on obtient, pour expressions de cette probabilité, la formule suivante :
^ih+x + W2fc-H2c<-X W»A+2C+X~(" • • ■ 5
oîi l'on a posé
v/Sv'?{0
490. Opérations au comptant. — Les opérations au comptant sont essentiellement dilierentes des opérations h terme; pour les premières, l'espérance mathématique de l'acheteur n'est pas nulle, elle est égale à l'intérêt du capital qui a été versé pour acheter le titre.
Supposons qu'il s'agisse de la rente 3 pour loo : tous les trois mois il est détaché un coupon de o''', 75, et tout se passe comme si le cours de la rente au comptant montait en moyenne de 3''' par an ou de o'', 25 par mois.
L'espérance mathématique de l'acheteur de renie au comptant est o'"'', 23 par mois, S'^"' par an, etc.
(Le cours du comptant est généralementdifférent decelui du terme. A terme, l'acheteur touche également les coupons, mais il paie les reports, de sorte qu'il y a pour lui compensation en général. Je n'ai pas à étudier ici ces questions; elles ont été développées dans mon Ouvrage sur la Théorie de la spéculation.)
La probabilité pour que, à l'époque /, le cours de la rente au comptant soit X (le cours actuel étant zéro), ou encore la probabilité pour que l'acheteur au comptant puisse réaliser un bénéfice x au bout du temps /, est exprimée par la formule du paragraphe 419.
Cette probabilité est
[•il l)-i-.r\-
CT ^ — — ^=z- dx.
L'espérance mathématique '1 (^) est connue; si, par exemple, /est exprimé en jours et si l'unité adoptée pour x est le centime, on a
car l'espérance mathématique est 3oo centimes pour 3G5 jours.
11 y a nécessairement uniformité relativement à l'espérance mathématique ; nous supposerons qu'il y ait également uniformité relativement à l'instabilité (n° 432); la probabilité du cours x à l'époque t sera alors exprimée par la formule
,3oa, ,'
V 3Ci /
• dx.
\fK\/!\T.k'-t
Le coefficient d'instabilité X: varie sans cesse; il peut être calculé à chaque instant, comme nous l'avons vu, s'il est traité des primes. Il a même valeur qu'il s'agisse d'opérations au comptant ou d'opérations à terme.
En adoptant pour le coefficient k sa valeur moyenne calculée dans mon Traité sur la Théorie de la spéculation {k = J, l'unité de temps B. - 1. 4i
3ii 1. r.M'iii'.iiKii.
clitiil le jour cl l'iiiiilc de varialimi le (■ciitiintO. <>ii |)imiI olilciiir i'aL-ileincnt les iirobahilités rclalivt's à une époque / (|ucl((iiii|U(".
On voit ainsi que iieiif Ibis sur dix un aclial de icnic ;iii coniptanl produit uu hénélice au hoiif d'un an.
491. Laprohahilité I' pour(|ue le eours.z- soit dépassé avant l'époque/ (prohabilité du second genre) est exprimée par la formule du paragraphe 34(>dans laquelle on remplace a par / et '|, par — j/,. On a ainsi
p=-^ f e->' dl+-^ e~^ r e-^' dl ;
'i^^ est égal à^TT^ et 9, à l\-Kk-.
Supposons, par exemple, qu'on achète de la rente au comptant pour la revendre avec un hénélice de 3'''. Si l'on adopte la valeur moyenne k — 5, il y a probabilité o.G/j pour que la vente puisse s'effectuer avant un an.
La même probabilité serait 0,18 pour six mois, 0,49 pour neuf mois et 0,82 pour dix-huit mois.
L'époque probable de ta vente, c'est-à-dire la durée probable de l'opération, est neuf mois; la durée moyenne est un an.
