THÉORIE DU RAYONNEMENT DE LA PROBABILITÉ
492. Soit cTf.j... dx la probabilité pour que, à l'époque t, le cours soit compris entre a; et a? + dx. Soit encore Ç(«, x, i, ... )du la probabilité pour que le cours augmente de la quantité u pendant l'intervalle de temps t, t -^ di quand on sait que le cours était ir à l'époque/.
La probabilité pour que le cours soit a; + w à l'époque t -\- dl ayant été X à l'époque t est, en vertu du principe des probabilités composées,
^i.x.... Ç( "• Jc- t. . . .) (Ix du.
Nous pouvons exprimer ce fait en disant que le cours x a, pendant le temps dl, émis vers le cours a; -i- « la quantité de probabilité TSix . . .'Ç{u, X, t, . . .) dx du.
Le même raisonnement peut s'appliquer à tous les cours tels que X + u possibles à l'époque / -;- dt quand le cours a été x à l'époque t. Nous pouvons donc dire que pendant le temps dt le cours x (ouïe point X si l'on représente les cours par une droite) diffuse sa probabilité vers les points voisins.
493. Quand les lois de cette difl'iision sont simples, c'est-à-dire (juand les lois des variations de X,{u,x,t, ...) sont simples ellesmêmes, il est possible d'en déduire la probabilité pour que le cours soit X à l'époque i, problème qui constitue le but de notre étude.
Lorsqu'on suppose que l(//, x, t, . . .') dépend seulement de u et de t, on dit qu'il y a indépendance, pour exprimer que "Q est indépendant de X et des variations antérieures à l'époque t.
Lorsque "C ne dépend pas du temps, on dit qu'il y a uniformiié.
Dans la suite de cette étude, nous supposerons toujours l'indépendance et parfois l'uniformité.
324 '•• IIAI^IIKI.IIIÎ-
La prol>al)ili(o pmir (]uo lo cdiirs sdil .r à l'opoquc t el x-h ii a
l't''p(l(|U(> / t- (// t'Sl
m,,,,. Ç(m, f)dii d.r.
Nous ox|ti'im(>r()iis ce fait en disant ((110 le cours x a émis vers le poini voisin r -h 11 la (|uantité de prolialtilité ci, .^^(m, t)dudx proporlioniiclli' il la jirulialiilitc du cours v.
S'il y a indcpcudance et uniformité, la fonction 'Ç, ne dépend ([ue de u et alors le point x émet vers le point voisin x -\- u une quantité de prohabilité égale au produit de la probabilité du pointa; par une fonction de //.
494. Le point r émet vers le point x + u pendant le temps ^/ la quantité de probabilité
Le point J7-1- « émet vers le point x pendant lo même temps c?/ la quantité do probabilité
^t.x+uK{— II) du.
S'il y a symétrie, '(( — u) — 'l ( — u) et la probabilité qui passe d'un cours à l'autre est
Par analogie avec certaines théories physiques nous exprimerons ce fait comme suit :
Un cours rayonne vers un cours voisin une quaniilé de probabilitç proportionnelle à la différence de leurs prohabilités.
Telle est la loi du rayonnement de la probabilité.
495. La probabilité passe d'un point plus probable à un autre qui l'est moins comme la chaleur passe d'un corps chaud à un corps froid.
Les probabilités tendent constamment à s'égaliser. Il résulte de ce fait et de la symétrie que le point x = 0 qui était le plus probable au début reste constamment le plus probable et que la probabilité d'un point X diminue avec x.
Il en résulte aussi que, l croissant indéfiniment, la probabilité dans
CALr.UL DES PROBABILITÉS. 325
un intervalle fini iT, x, tendra vors zéro. Toutes les probabilités en effet deviendront égales; elles s'étendront sur une distance infinie, et, comme leur somme est finie, chacune d'elles sera nulle.
Ces propriétés subsisteraient même si la fonction 'Ç dépendait de t. Il y aurait exception si 'C tendait vers zéro quand / croît indéfiniment; mais la nature du problème que nous traitons ne permet pas, de faire cette hypothèse.
490. Probabilité totale. — Nous désignerons par ï",,^ la probabilité pour que le cours se trouve compris, à l'époque (, entre œ et l'infini; on a donc
et de même
Nous allons calculer la probabilité 1',.^ pour que le cours se trouve compris à l'époque t, entre ,r et l'infini. Dans ce but, nous déterminerons d'abord la quantité de probabilité qui, pendant le temps dt, passe de la région — x, + a; dans la région h- .r, -i- co; la quantité de probabilité qui, en quelque sorte, traverse le cours ar.
Nous supposerons ([ue pendant le temps c?/ il y a probabilité "C {ii)du pour que le cours varie de la quantité u, u ayant par exemple pour limites — £, et -f- e,, de sorte que
Si, à l'époque t, le cours est x — e, hypothèse dont la probabilité est ^t,x^tf la probabilité pour que, à l'époque t -\~di, il ait dépassé l'abscisse X est
La probabilité pour que le cours soit x — ia l'époque t et pour (|u'il ait dépassé x à l'époque l ^ dt est, en vertu du principe des probabi-
33(i !.. RAf.IIF.l.TF.n.
lités composées,
La |)rolial)ili(i' pour qiiP lo cours soU .v ■+■ z à l'époque / o( pour qu'il ait rélrogradé à une abscisse moindre que .r à l'époque / -t- dt est de même
^t.x+€ I K{n)du.
L'accroissement de la probabilité 'f dans l'intervalle de temps <//, c'est-à-dire la probabilité (|ui passe pendant ce temps à travers l'abscisse X, est la somme des expressions telles que
( ^i.x-t —^t,x+t) I Ç ( « ) du ,
pour toutes les valeurs de £ depuis zéro jusqu'à £,.
Développons les expressions nT,,^eet ^t.x+t pa'" la formule de Taylor; nous aurons
m,,x-,-r;^,.r-tj^ -^ - ^-^ - - -^-^ + . . . , ox 2 Oj:- o c'a:'
L'accroissement de la probabilité $ a pour expression
Transformons les intégrales doubles par la formule de Dirichlet,
] '^y \ /(^' y)^^"^ ~ / dr f /(.r, y) tly;
nous aurons alors
à^ r' '-ri . ^ '^'^ /'""'v., ^ ,
OU
CALCIL DES PROBABILITÉS. 32'^
La première intégrale représente la moitié de la valeur moyenne de ir dans l'intervalle de temps dt; la seconde intégrale représente le sixième de la valeur moyenne de u' dans le même intervalle, etc.
La valeur moyenne de u* est infiniment petite par rapport à celle de u-, puisque de est infiniment petit; l'expression précédente se réduit donc rigoureusement à
Nous désignerons para, le double de la valeur moyenne de u^ et nous nommerons 9, là fonction d'instabilité relative à l'intervalle dt.
L'expression précédente qui exprime l'accroissement de la probabilité ^S dans l'intervalle dt peut donc s'écrire
4 dx
ou
cet accroissement s exprime aussi par ^; on a donc
do-- Oi dt La probabilité a' vérifie donc l'équation de Fourier.
