VS
On constate facilement que cette expression de ct vérifie l'équation
d'cT !\ dm
On sait que, plus généralement, si une fonction ^ satisfait à l'équation de Fourier, sa dérivée en x y satisfait également.
Il est facile de parvenir directement à l'équation précédente. Cherchons pour cela l'accroissement de trr dans le temps dt. Si le cours est a; — £ à l'époque /, il rayonne pendant le temps rf/ vers le point x la quantité de probabilité
Si le cours est a; + £ à l'époque /, le point x rayonne vers lui la quantité de probabilité
relativement aux points a? + £ etr — t; la probabilité du poin t. r s'accroît donc de
[(5J^3— ro^) — {^x— Wx^e)] Xii)(h,
et l'accroissement total de la probabilité du point x est la somme de toutes les quantités analogues pour toutes les valeurs de t de zéro à £,. Cet accroissement est donc
/ [(ro^-E— ro^)— (W:r— ro^+c)] î(O^S>
OU, en développant cr^. ^ et nr^^s par la formule de Taylor,
La première intégrale est la moitié de la valeur moyenne de i- dans l'intervalle de temps dt; la seconde intégrale est le sixième de la valenr moyenne de s* dans le même intervalle, etc.
La valeur moyenne de £* est infiniment petite relativement à celle de ï^, puisque dt est infiniment petit; l'expression précédente se réduit donc rigoureusement à
Le double de la valeur moyenne de £^ se désigne par s, et se nomme fonction d'instabilité relative à dt.
L'accroissement considéré est donc
9, d^-vs ^ B. - I. 42
33o h. nACHEUF.R.
oonimc il a aussi pour cxprossion -j-- un a
âx^ «Pi dl
499. L'oqualion fonctionnelle du paragraphe 418 aurait conduit à (•ellt> inènic ('(lualioii en admellani le princi])e de l'espéranee nialliémalique el le principe de l'uiiiioi luilc.
En adinellant ce dernier principe, l'équation foiictioiiiicllc s'écrit
Cette équation détermine gj, parce que / et /, sont absoiiiniciil (|iiclconqucs et, en particulier, parce que l'on peut considérer / - /, comme infinitésimal.
Posons ( ~ {, — Al ai -r - z = t; l'equaLioii devient
Développons l'élément de l'intégrale en supposant 11 infiniment petit ;'les puissances de t supérieures ii la seconde peuvent être rigoureusement négligées, et l'équation s'écrit alors
La première et la troisième intégrale ont pour valeur un; la seconde est nulle en vertu du principe de l'espérance mathématique. II reste alors
, r)js (T'txI f'^" s- ,
"'--'UT-^TTFj^ T7^-^'^'^-
Si l'on désigne par ç>, Ai le double de la valeur moyenne de i- pendant le temps Ai, on a simplement
à-m ^ dm
('.ALCHL DES l'IlOBABILITÉS. 33 1
La première méthode que nous avons employée conduit donc à la même équation aux dérivées partielles que la théorie du rayonnement.
500. Dans l'expression des probabilités, on peut introduire le coeiticient k au lieu de ç, ; la probabilité nr ayant pour valeur
l'espérance positive est ^'^' i , et si l'on désigne par /■ le coefficient d'instabilité, c'est-à-ilire l'espérance positive lorsque / = i , on a
501. Cas où il n'y a pas uniformité. ~ Dans le cas oii il n'y a pas uniformité, les raisonnements dont nous avons fait usage (n" 498) subsistent toujours, mais la fonction 'C diffère suivant l'intervalle di considéré; c'est une fonction du temps. L'équation aux dérivées partielles estjilors remplacée par la suivante,
ôx"- o'(t) ~dt ~ ' ç' (/) est une fonction donnée du temps; c'est la quantité
'^— El
£, est une fonction donnée du temps.
On peut toujours supposer que s, est infini en changeant convenablementlaformedel'élémentdel'intégrale, cequi importe peu, puisque la fonction 'Ç est arbitraire. Par exemple, on peut multiplier l'élément par un facteur égal h un entre les limites — s, et -f- z, et égal à zéro en dehors de ces limites.
Pour intégrer l'équation, on pose
