X -+- fJL'i/, =: x
TTfJlM
elle est analogue à celle qu'on obtient dans le cas du jeu équitable. La déformation de la surface de probabilité, lorsque a croit, suit donc les mêmes lois, que le jeu soit écjuitable ou qu'il ne le soit pas: mais, dans ce dernier cas, la surface de probabilité est animée dans son ensemble d'un mouvement rectiligne qui est uniforme si u. désigne le temps.
.V24. Application à la théorie des épreuves répétées. - Trois événements de probahililés p,q, r peuvent se produire à chaque épreuve et
'{'|S I.. iiAc.iir.iiiu.
s'evr/iic/il mittucllcniint de sorte (jnc yy -+- y -|- r = i ; quelle est ta piohahilité ptmr ijue, en \x épreuves, te premier se pro luise \fois el le second Y fois?
Siippositiis ([lie li'uis joiii'iiis A. |{,('. joueiilaux coiulitii)iis s ni vaut os: à chaiiuc parlip, le joueur A a pinhahilité p de gagner 2 francs et prohahilité (i —/v) de perdre i franc; le joueur M a pr(il)al)ililé 7 de gagner 2 francs el probabilité (i q) de perdre i franc ; le joueur •C a probabilité r=^(i— /> — 17) de gagner 2 francs et probabilité (^i /•) — (p -!-</) de perdre i franc. On suppose (lue, à chaque partie, l'un dfs joueurs gagne 2 francs, chacun des deux autres perdant I franc.
Si, sur tj. parties, le joueur A a gagné X parties, il en a perdu a — X et sa perle totale est
JJL— \ — 2X:=fX— 3X.
Si le joueur B a gagné Y parties, il en a perdu a — Y' et sa perte totale est
p, Y-2Y^;jL-3Y.
La probabilité pour(iue, en ijl épreuves, l'événement de probabilité/? se produis,' X fois et l'événement de probabilité y, Y' fois est la probabilité pour que, sur a parties, A gagne X parties et B, Y parties ou pour que A perde la somme u. — 3 X el B la somme a — î Y.
Cette probabilité est exprimée par la formule du paragraphe 510, il suffit de calculer les coefficients; on a
I, = C, = 2/> — (i— />) = 3^ — 1, t!;î=39 — I, ^^~ir — i,
La probabilité pour que l'événement de [)robabilité p se produise X fois et l'événement de probabilité 7, Y' fois, en u. épreuves, est donc
^~2lZ7^'''"~''"^~i^'"'"*--'"/"'-!^/"l^-!*'/i^/'i'-/'Hï-(i'/)'i
l-.ii.\lpqr
d\ dW
Cette formule établie en supposant la continuité n'est applicable que si u. est un grand nombre.
52.5. La plus grande probabilité a lieu lorsque X = \^p et Y— u,q, c'est-à-dire lorsque les événements se produisent en nombres proportionnels à leurs probabilités.
La valeur moyenne de X est \}.py la valeur moyenne de Y est \i,q.
Les quantités \xp et ij.q sont donc les valeurs normales des nombres des arrivées des événements.
Si le premier événement de probabilité yj se produit u.p -t- x t'ois et le second, de probabilité y, ay H- j fois, on dit que les écarts sont aet y.
La probabilité pour que les écarts soient x et y est
: dx dy.
2np.\'pt/r
526. Probabilités mêlées. — A chaque épreuve, il y a probabilité p pour que l'événement A' se produise seul, probabilité q pour que l'événement B' se pro luise seul, probabilité r pour que les événements A' et B' 5e produisent toits deux et probabilité t =i~p — q — r pour qu'aucun des événements ne se produise. Quelle est la probabilité pour que, en fjL épreuves, l'événement A' se produise X fois et l' événement B', Y fois?
Supposons que trois joueurs A, B, C jouent aux conditions suivantes : à chaque partie, le joueur A a probabilité p -\- r pour perdre i franc et probabilité i — (/j + r) pour faire partie nulle.
Le joueur B a probabilité q -+- r pour perdre i franc et probabilité I — {q -^ r) pour faire partie nulle.
Le joueur G a probabilité r pour gagner 2 francs, probabilité p -^ q pour gagner i franc et probabilité t pour faire partie nulle.
La probabilité pour que l'événement A' se produise X fois et l'événement B', Y fois en ix épreuves est la probabilité pour que le joueur A perde la somme X et le joueur B la somme Y en [j. parties.
350 !.. Il.\rilKl.ll-.ll.
("ctto prol);il)iliti'' est doiiiit'c par la foriiiiilo du ii" .M I, on a 't'\=—P — '■> Il - — </ — '•>
<fi^-i[(P + '■) -(/' + '•)'] — '-(/'-+-'■) (' -P-')^ <p,= a[(</-t-/-) — (7 +'•)'] — 2(7 +r){i — 7 — /•), <p,— a[4'-+/> + 7 — (2''-+-/' -t-7r]'
A = 4[(/J + '•) (7 + '•)(/' + 0(7 + 0- {pf] - rty-]- La probabilité cherchée est donc
1 Ji,/ t-cK !-(/ — /•) [X — li (/>-*-/■ 'l'-Hii/KZ-i-niX — iii/i-i- ni 1 Y -(iif/ + r-in-î(/n-c)il-/i — ni Y- p.u/-(-/-il' g~ jl * |( /• -I- /• M </ -t- /■ 1 1 /' -t- ' H '/ + ' I — I /«/ — '■' I' 1
T^MV^'iU/» -1- '■) (7 -I- '•)(/' + 0 (7 -t- 0 — (>"7 — 'OM
rfXa'Y.
Cette forimilc suppose la continuilé. elle n'est appli("al)l(' que si u. est un ijrand nombre.
527. La plus grande probabilité a lieu lorsque X = (jl (/; + /•) et y = (ji.(^ H- /•), c'est-à-dire lorsque les événements se produisent en nombres proportionnels à leurs probabilités.
La valeur moyenne de X est [^(/j + /), la valeur moyenne de Y est u.(q-hr).
Les quantités u.(/j -+-/) et ij.(q -\- r) sont donc les valeurs normales des nombres des arrivées des événements.
Si le premier événement se produit [x(y> -i- r) -\- x fois et le second fx(^ -+- r) -h Y fois, on dit que les écarts sont x et y.
La probabilité pour que les écarts soient .^ret r est
I Ht/ -*-/■ I I I — c/ — /• ; .» ^ -t- i ■ /»// — /7 I -ï'V -i- 2 i /? -(- ;■ 1 I 1 — ;7 — /■ I >■■
g ji i:ip-t-rM7 + »-ii/)-(-/M'/-*-') — 1;>7 — '-'l'I
: do: dy .
-V\I'A'.P + r){q + r)(p + l){q + t) -{pq - rt)^
Ou peut donner à cette quantité une forme un peu différente en introduisant dans son expression les probabilités t» -=p -i- ret w=^q-^-r
CALCUL DES PROIiABILITÉS. '1)1
des événements A' ot B'. On a alors pour valeur de la prolmbililé
I M- I — tv ia'*-(-( l'W — /-jâ-rv-t-t'i 1 — 1- 1> =
^ u. sri'ivi I — l'u 1 — ii-i — ii'ii/— /•)')
27ïfX\/('H'(l — (•) (l — II') — (l'H' /•)-
ô28. Probabilités du second genre. — Le joueur B possède la •somme y et les joueurs A ci C une somme infinie, quelle est la probalnlilé pour que, à la u.'"'^'^ partie exactement, le joueur B soit ruiné, le joueur A ayant perdu la somme x']
On suppose que les joueurs règlent les différences après chaque partie.
Désignons, comme précédemment, par /(a, r, y) la prohabililé pour que, à la ;j."'""' partie, le joueur Aperde la somme x et le joueur H la somme y et par yXv-> ^' Y) ^^ probabilité cherchée. Nous allons égaler deux expressions différentes de la probabilité /"( (x, -r, y).
Le joueur B ne peut perdre la somme y sans avoir perdu précédemment la somme y,, si y, est inférieur à y.
La probabilité pour que, à la a'f""" partie, le joueur A perde la somme .r,, la perte y, étant pour la première fois atteinte par le joueur B, est / (a,, x^,y^).
La probabilité pour que, à la a',"'"' partie, le joueur A perde la somme a?,, la perte y, étant pour la première fois atteinte par le joueur B, et les pertes finales des deux joueurs étant x et y à la u.'"'"" partie, est, en vertu du principe des probabilités composées,
Z(Fi' -^i'.''" )/(,'^ — f^i' -i" — ■«■i-/ — /i )•
La perte y, pouvant être atteinte pour la première fois à tontes les parties de zéro à a et, d'autre part, la perte x^ pouvant avoir toute valeur de — ce à 4-00, la probabilité pour que, à la a''""' partie, le joueur A perde la somme x et le joueur B la somme y est, en vertu du principe des probabilités totales,
cette même probabilité s'écrit également /(u., a;, v) ; on doit donc
3i!2 !.. BACIIF.I.IF.R.
avoir
/(fi, j-, ) ) " ./ / ■/(;/,, x,, y, )/( fi — f/,. a; — ,r,,/ — j, ) r/./', Jji,.
Telle es( réipiation de conflitioii à laquelle doil satisfaire la fonction y.
.")2'.). Nous supposerons que le jeu est équitable et (jue les conditions du jeu sont les mêmes pour les trois joueurs; alors
(.>'+JV4-.l')
Trfi9,v/3 Dans celle liypothèse, on a
Le second membre de l'équation conditionnelle devient en effet
1 J. , 37:=9îfxi(f/-fi,) ^"
une première intégration par rapport à a;, est possible car, relativement à cette variaMo, l'intégrale est de la forme connue
h'- — im-
Cette intégration une fois effectuée, l'intégrale se réduit à
/•V- ,.., p 3<p,lJ.iJ.,|(l-(l,,
cl, en posant,
elle devient
CALCUL DES PROBABILITKS. 353
Elle est de la forme connue
Le second membre de l'équation conditionnelle se réduit donc à
»liç,
il est identique au premier.
La probabilité pour que le joueur B soit ruiné à la a'""'" partie el pour que, en même temps, le joueur A perde la somme x est donc
— — d.T dfx .
On pourrait formuler contre le raisonnement employé une critique déjà prévue (n° .345). On pourrait également, dans le cas considéré, faire usage du procédé rigoureux décrit au paragraphe 351.
530. Distribution des probabilités. — Les Joueurs XeiÇ, possèdent une somme infinie et le joueur B possède la somme m; quelle est ht prohahililè pour que, à la u.'*"" partie, le joueur A ait perdu la somme x et le joueur B la somme y '^
Nous supposerons, comme pour le problème précédent, que le jeu est symétrique.
Si la fortune du joueur B était infinie, la probabilité cherchée aurait pour valeur
Il faut retrancher de cette quantité les probabilités relatives aux cas où le joueur B est ruiné avant la ul'^""' partie.
Le joueur B peut être ruiné à la u.'/"" partie, le joueur A ayant perdu la somme x, ; la probabilité de cette éventualité est
nul o,v/o B. - I. 45
35'| I.. liAt.iiK.i.ir.i'..
Supposons (]ii(\ ;iii iihuih'iiI (ui le joueur H csl ruine à la |j.','"" pailio ( le joutMir A avani perdu la somme .r,), ce j(Uieui' H puisse eonliiiner à jouer, possétiaut une somme inrinie ; la [jrolialiililé pour <|ue, à la u.""" partie, les joueurs A e( |{ aient perdu respectivement les sommes a.et y serait
Hl.r— .i-,|'-n.i- — .i-,ll.> —ml+iy- »i)') 2 e" 3i|i.-ll,|iJ>,
La possibilité de la ruine du joueur H à la [jl'*""' partie (le joueur A ayani perdu la somme r,) diminue donc, d'après le principe de la probabilité composée, la probabilité f(u.,x,y) de la quantité
