iî«,v/3 7:9,(/J
Le joueur B peut être ruiné à toutes les parties de zéro à [a et, d'autre part, X, peut prendre toutes les valeurs de — oo à -f- oo. La possibilité de la ruine du joueur B diminue donc la probabilité /(ij-, •î-, r) delà quantité
fX
Ti^t; 9, v/3 7:(;x — p.,)9i v/3
On obtient la valeur de cette intégrale par un procédé analogue ii celui qui a été employé dans la question précédente (n''529). L'intégration en X, étant ellectuée, on pose
au lieu de
afin de pouvoir appliquer la formule
CALCUL HES PROIiABlI.TTÉS. 355
qui suppose a positif. Finalement, la valeur de l'intégrale est
31JL9,
La probabilité pour que le joueur A ait perdu la somme r et le joueur B la somme y est donc
r-\>-^\ v/S 77,0.9, \fï
on peut l'écrire
531. Si l'on intègre par rapport à x entre — ce et + ce, on obtient la probabilité pour que la perte du joueur B soitr, celle du joueur A étant quelconque; le résultat de cette intégration est
dv dy.
C'est la formule que nous avions démontrée (n" '.M'i) en nous basant sur de simples raisons de symétrie. (La quantité que nous désignons ici par y était désignée par /?z — j au paragraphe 323.)
532. Probabilités des genres supérieurs. — Les probabilités du troisième genre seraient relatives aux cas où deux des joueurs ont des fortunes finies et les probabilités du quatrième genre supposeraient aux trois joueurs des fortunes finies.
Les questions relativesauxdéterminationsdes probabilités semblent d'une grande complication, mais il est possible de déterminer la durée moyenne du jeu, même en supposant limitées les fortunes des trois joueurs.
533. Les joueurs A, B, il, possédant les sommes a, b, r, jouent Jusqu'à la ruine de l'un d'eux ; quelle est la durée moyenne du jeu?
Désignons par a(j7, y) la durée nioyenue (juaiid le joueur Apossède
VMÎ I. lîACIIl I.IFU.
ta soiniiif .1, le joueur U la somme v el le joueur C la M)iiiino a + A -I- c - - .T — y — s — a; — y.
Soit encore v(". t")'^" '/»'ï:> proitabiiilé pour que, à une partie, le joueur A perile la sonirue // el le joueur B la souirn(> i'; ou a, eu supposant le jeu unilnrine,
/.^.i, j; Au 4- / / !:{u, v)xl(ji— u, y - v)dii(li\
*J 00 ^ ao
Va\ ell'et, la durée nioveunc se composera d'abord de la première partie. \u.. Puis il v aiua probabilité X,{ii, v)dudv pour que la durée moyenne devienne \{x — u,y — v), et comme a et c peuvent prendre toutes les valeurs de — oc à + ao, l'équation qui précède est l'expression des principes des probabilités composées et totales.
(Dans l'intégrale double, nous pouvons considérer les limites comme infinies, par suite de la petitesse de u et de v ; en toute rigueur, u et v sont limités, leur somme doit être inférieure à s.)
Développons A(.r — u,y —v) par la formule de Taylor
2 OJ'^ (Jx cly 2 oy-
L'équation nntéprécédente devient ainsi
,,-+- oc -. t- ^
H r^ / / '"-; {u^v)dudv — . . ..
•/ »-^ ^ — X *^ — se
Nous avons remplacé Ax par l'unité parce que 'C{ii, v)dud\' exprime la loi de probabilité lorsqu'on prend Aix pour unité.
La première intégrale double a pour valeur un. La seconde est la
IIALCUL DES l'KOliAClLlTES. '15 7
valeur moyenne de u\ nous supposerons le jeu équitable et alors cette intégrale sera nulle de même que la troisième.
La quatrième est la valeur moyenne de u-, quantité que nous avons
désignée par — •
La sixième est la valeur moyenne de v"^, c'est-à-dire — •
("alculons la cinquième qui exprime la valeur moyenne de uv. Si l'on désigne par w la perte du troisième joueur C pour une partie, on a
et, par suite,
