IV- ^^ (u ■+- i

La valeur moyenne de (//-!-<')* est donc la valeur moyenne de (v^, c'est-

a-dire — •

Or la valeur moyenne de {ii -t- v)'- = ir -h v- -+- 2«t'est la somme de la

valeur moyenne de w- ou —, de la valeur moyenne de v'- ou— cl du

double de la valeur moyenne de ui'.

La valeur moyenne de uv est donc

Les termes non écrits dans le développement de A(a;, j) sont d'abord

des termes contenant des dérivées troisièmes -^-J, -r-^-y-,- ••, niulti-

pliées par des valeurs moyennes du troisième ordre, celles de u'\ de li-v, ....

Nous supposerons que le jeu est symétrique, c'est-à-dire que ses conditions sont les mêmes pour les trois joueurs; alors les moyennes du troisième onlre, du cinquième et de tous les ordres impairs seront nulles. Par exemple, la valeur moyenne de u^\'-,

/ / h'i'-Ç( u, v) du dv

est nulle; si, en eiï'el, nous considérons l'élément u^v-'Ç{u., v) du dv, et si nous changeons u en - u et v en — c, 'C(", v) ne change pas, par

1^8 I.. haimiii un.

suite (le la svnu'lrie. cl rélomeiil cliaiij^c do signe. A cIukuic élfiiieiil correspond un élément égal et do signe contraire; la somme de tons les éléments est donc nulle.

La symétrie supposée entraîne aussi l'égalité des trois quantités Zl,, O.,, O ;,.

Parmi les termes non écrits, il n"v a donc plus à considérer (lue les termes contenant des dérivées quatriènies, sixièmes...., multipliées par des valeurs moveniics des ([uatrième, sixième, . .. orilre. Aij. étant infiniment petit, ces valeurs moyennes sont infiniment petites, relalivenuMit aux valeurs moyennes du second ordre.

Finalement, l'équation qui détermine A se réduit à

dx- Oxdy df'^ o,

La durée moyenne est nulle quand un des joueurs est ruiné; les conditions aux limites que doit satisfaire la fonction A sont donc

^(o.j)— o, X(a-,o)=ro, et }, — () lorsque x -\-y = s.

534. L'équation indéfinie et les équations aux limites sont vérifiées

par la fonction

y lixy{s — a;^ y)

SOi

cette solution est d'ailleurs unique, car s'il existait une autre solution A', leur diircrencc(X — A') vérifierait l'équation

dHl — V) d'O. — 'i.') û'-(l-l') i — ; ^ — ; 1 r"ï '=■ o,

nul.

elles conditions aux limites (A — a') = o, poura;ou jou5 — a:^^— y Or on sait (]u'une fonction (A — A') qui vérifie l'équation aux

dérivées partielles qui précède et qui est nulle sur tout le contour est

nécessairement nulle.

Donc A' = A et A est la seule solution du problème proposé.

.i35. Le calcul des probabilités permettrait d'ailleurs de démontrer

CALCUL DKS PnOIîABILlTÉS. « SSq

que la solution X est unique. Cherchons, en eflVt, la probabilité pour que le jeu considéré dure indéfiniment. En desii^nant par y (^\y) cette probabilité, quand le joueur A possède la somme r et le joueur B la somme }', et en raisonnant comme nous venons de le faire pour déterminer la durée moyenne, on est conduit à l'équation

dx' i)x dy dy-

avec les conditions aux limites / = o pour a; on j ou 5 — x — y nul.

Le jeu étant uniforme, la probabilité dans une aire finie est nécessairement nulle au bout d'un temps infini, donc/^ est nul et par suite la fonction (X — X), qui vérifie la même équation indéfinie et les mêmes conditions aux limites, est nulle.

536. Lorque le joueur A possède la somme x, le joueur B la somme jet le joueur C la somme s — x —y, la durée moyenne du jeu est

Au début du jeu, r z= a, y =-: b Qi s — x — y ^^ c. Donc :

La durée moyenne du jeu

!\abc

Oi{a -i- ù -h c)

est proportionnelle au produit des fortunes des joueurs et inversement proportionnelle à la somme des mêmes fortunes et à la fonction d'instabilité.

537. Si la fortune du joueur C est infinie, la durée moyenne du jeu est

(iab

elle est proportionnelle au produit des fortunes des joueurs A et B. Si deux joueurs ont des fortunes infinies, la durée moyenne du jeu esl infinie.

538. Les joueurs A, B, C, dont les fortunes sont a, b, c, jouent jusqu'à

3(u) I.. i!\(.iir.i.ir.ii.

(T i/iw (li'u.r d'cftlrc eii.r soient riiinfs : /iic/la es/ la durée moyenne (lu jeu ?

Nous supposerons que les condilions du jcMi soionl los mômos que pr('('i'(l(<miiii'iil cl t'araclérisérs par la l'onction ^|. puis iju'aprcs la ruine ilc l'un des joueurs, les deux autres jouent à un jeu é([uitaltle caractérisé par la l'onction z,.^.

En désignant comme précédemment par A(,-r,y) la durée nioyciine totale du jeu quand le joueur A possède la somme x, le joueur H l:i somme V cl le joueur C la somme s — x — y, on a toujours

J'/, tPl on. 4

Ojc- (JjcOy Oy' ©,

mais les conditions aux limites ne sont plus les mêmes.

Lorsque r — o, le joueur A est ruiné, et si le joueur B possède la somme >', le joueur C possède la somme {s - v).

Ces deux joueurs devant jouer jusqu'à la ruine de l'un d'eux, la durée moyenne de ce nouveau jeu est (n° 401 )

Le même raisonnement s'applique au cas où l'un des joueurs B ou (> serait ruiné le premier: les condilions aux limites sont donc : Pour X :=o.

Poury = o,

Pour s — X —y = o,

ixy

539. On reconnaît facilement que l'équation indéfinie et les équ; lions aux limites sont vérifiées si l'on pose

on démontrerait d'ailleurs, comme précédemment, que cette solution est unique.

Au début du jeu, .r = a, v = h, s — x — y = c. Donc :

La durée moyenne du jeu a pour expression

4abc

[al>{a -h b) -h ac[a + c) -H bc{b -+■ f)].

La première partie de la somme exprime la durée moyenne jusqu'à ce que l'un des joueurs soit ruiné ; le second terme exprime la durée moyenne quand les deux autres joueurs jouent jusqu'à la ruine de l'un d'eux.

540. Probabilités non uniformes. — Nous avons supposé jusqu'à présent qu'il y avait unil'orinité, c'est-à-dire que les épreuves successives étaient identiques. Nous ne ferons plus cette hypothèse et nous supposerons que les conditions à chaque épreuve sont variables suivant une loi donnée et dépendant seulement du rang occupé par l'épreuve.

Nous résoudrons d'abord le problème suivant :

Trois joueurs A,B, C, possédant chacun une fortune infinie, doivent jouer ^parties; quelle est la probabilité pour que le joueur A perde la somme x et le joueur B la somme y ?

A chaque partie, par exemple à la a''"", le jeu sera caractérisé : pour le joueur A, par l'espérance totale 1', {\i-)dii. relative à cette u.'*°" partie et par la fonction d'instabilité ç, (ij.)r/uL relative à la même partie.

De même pour le joueur B, le jeu sera caractérisé à la u.'*'"'' partie par les fonctions ■y.,{\x)du. et (p!,(u.)f/ijt., et pour le joueur C, par les fonctions •|3(u.)rfui et Ç3([x)f/a. Nous désignerons par /(;x,, iXj.a;, y) la probabilité pour que le joueur A perde la somme x et le joueur B la somme jK entre les parties ui, et il.,.

La probabilité pour que, à la [^-'f""" partie, le joueur A ait perdu la somme a-, et le joueur B la somme 7, a pour expression/(o, [x,,a;, ,j,).

La probabilité pour que, entre la [x';""" et la a'""* partie, le joueur A B. - 1. 46

362 L. BACIIKUEK.

ait ponlu la somme x - x, et h' joueur U la somme j-r, est

I.a probabilité pour que. à la (jl"'"" partie, le joueur A ait perdu la somme .r et li- joueur H;ia somme y. les pertes de ces joueurs ayaut été .r,, ^', à la ui.';'""" partie est. en vertu du principe des. probabilités composées,

/(o, fx,,.r„y,)x/(fx,, ^i, a- — x„.r-j,).

Les pertes .r,,y, ayant pu. à la af"" partie, avoir toutes les valeurs de - ^ à -+- 30, la probabilité iiouniiu'. à la u"""' partie, le joueur A perde la somme x et le joueur H la somme j est, en vertu du principe des probabilités totales,

f f /(o, (JL„ .r„ V,) x/(^t„ f/., X — X,, j — j,)rfx, ^y,.

Cette même probabilité s'exprime aussi par/(o, p.,,r,r); on doit donc avoir

/(o, (X, X, 7) = r f f{o,iJ.u^^.yi)xfiP-ulJ;-^-^i^J — yi)d-ridy,.

Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la fonction/; elle doit être vérifiée quels que soient |^, et a.

Lorsque la différence [t- — [i-t tend vers zéro, la probabilité pour que les écarts x — a;, = u, y —y, = ^correspondant à cet intervalle soient compris entre des limites données — a,,ao et — ^,,^2 doit tendre vers i; on doit donc avoir

lim I / f{^,. ij., Il, {')(lu (h' = 1 pour fA — fJ-, = o,

quelque petites que soient les quantités positives (et fixes) a,, y..,, [B,, fl,.

Ces deux équations de condition suffisent pour déterminer la fonction /, par suite de la continuité de la variable u..

L'analyse qui permet d'obtenir la fonction / sera développée au Chapitre suivant; nous nous contenterons ici d'en vérifier le résultat.

/(ix,. fi.,. X, 7)