Les équations sont satisfaites si l'on a

■xC

.r + y '•V,i(j.lrf}j. / '=;i!J..r/a+ .1+1 ''ypiiw/a » + /"4ii[j.i(/|i. / '[ç',((i/-hÇii:!Xi — ç;i[ii]rf!i+l)-i-/.'''';/';i[j.),/(i r 's'iinirfu. 2 / 'ç',iai,/u. / 'y;,y.. ./(i +2N ' j'iiu., ,/u.| r 'o;,(]j. ,([j. +2 / 'ç^i^iJu. | ' 931111 (/(j- - / 'ç',ini rf(x — T 'ç'^dii ./u. - /^ 'o'iiairfii

Vi J L« 11, J L'util J L^f-, J L"^!!, J L-^iJi! J

La vérification se fait par la même intégrale que précédemment (n°510).

S'il s'agit de la probabilité dans l'intervalle zéro, a, on peut rem-

placer les intégrales telles que / (p'(ii)r/|7. par 9([J^) et finalement :

La probabilité pour que, à la a""""" partie, le joueur A ail perdu la somme x et le joueur B la somme y est

9,!U.i|.r+4/,i[ii]'+[9,i:(in-9,iiJ.i-y,(|j.i;i.- + ';/,iij.i;[v-H'{/.ipLi]H-9,IHii.r-^4i,i!Xll'' 2?,ili|çy[J.:i + 2 9,(tii9ji!J.i + 2?,iiJ.)ç,ifii-ç;i}ii-Ç5i[jii-Ç5ini

/(Fi ^, r) =

7^ V2 9i(F)92(f^) + 2 9,(fi)cp3(f/)+ 2a)2(;i)93(;i)— cp;(fA)— (p|(fA)— o^(/i)

c/.r dy.

542. On peut écrire cette expression sous une forme un peu plus simple en se basant sur l'identité

La probabilité est ainsi exprimée par la formule

, -L i9.iM-/:-r + '{'iiWl'+l?ii!il + ?ilH)-9,i(i)J|x- + '}',ilii]l>- + 4/,iii)l + 9,l|J.)|y + '{/,liJ.)l'|

TTVA

dxdy,

3()'| I.. IIM.IIKI.IKU.

A (l('si}îii;nil Ir (li'lcriiiinitiil

9i(K) 9i(f*)4-(p,(fx) — 03(fx)

543. L(>s fonctions d'instabililé (•lomontaires ou finies dépendent dos conditions du jeu. mais la connaissanct' exclusive de deux d'entre elles ne suffit pas pour déterminer la troisième.

La somme des trois espérances ']>,([i.), 'Iiid-»-). '\'a(['-) relatives à un intervalle ijL quelconque élémentaire ou fini est toujours nulle; c'est nn t'ait |)res(]ue évident qu'on peut démontrer comme au n° 'y\2.

ài\. Lorsque le jeu est équitable, l'expression de la probabilité se réduit à

ÎÇ,(|i)?,(|il-l-2S,,Hl?,.liH-2Ç,IHHp,((l)-Çîi|il-?ii!ii-î/3lHl

7rv/2 9,(fx)o2(fi)-(-2(pi(fi)93(fx)-i- 2(p5(fx)o3(fA) — 9;(n) — 9Î(fA) — 95(fx)

L'équation

est celle d'une surface dont chaque section passant par l'axe des s est une courbe <le probabilité de la l'orme connue.

La représentation géométrique de la probabilité est la même que dans le cas de l'uniformité, mais la direction des axes des ellipses isoprobables au lieu d'être fixe varie suivant la valeur de [x.

Si, lorsque u. croit indéfiniment, ?i(u.), o<,{[>.), cp3((JL) ne tendent pas vers l'infini, mais vers des valeurs finies, 0,(00), (p2(co), 03(30), la surface de probabilité ne tend plus à se confondre avec le plan des xy, mais avec une surface asymptote dont l'équation s'obtient en remplaçant dans la formule précédente 9,(l«.), o.(ij.), o^dj.), par 9,(30), o«(^), 93(3=).

Enfin, si le jeu n'est pas équitable, la surface de probabilité est animée d'un mouvement de translation; mais au lieu que ce mouvement soitrectiligne et uniforme comme dans le cas où les probabilités sont uniformes elles-mêmes, ce mouvement est sans cesse variable et les composantes de sa vitesse sont à chaque instant '-p, (jJ-) et '^^([i.).

CALCUI, DES PRODAMIl.ITKS. 365

545. Application aux épreuves répétées non uniformes. — Trois événements s'excluent mutuellement ; leurs probabilités sont respectivement p,, q,, r, à la première épreuve, p.,, (J^, r., à la seconde, . . . , PiLJ (]]x-: 'V à la a'""". Quelle est la probabilité pour que^ en m épreuves, le premier se produise X fois et le second \ fois ?

Supposons que trois joueurs A, B, C jouent aux conrlitions suivantes : A chacune des parties successives, le joueur A a probabilité /j,, p,, . .., p^ pour gagner 2'"' et probabilité (i — p,), (i — P2)' •••> (i — Pv-) pour perdre i*^"^.

Le joueur B a les probabilités 7,, q.,, . . . . q^de gagner 2*^'' et(i — q,), {i — q..}, ..., (1 - qa) de perdre i'"'.

Le joueur Ca les probabilités r,, r.,, . .., r^, de gagner 2^'' et (i — r, ), (i — /-.'),.. ..(i — rji) de perdre i'''',(p,-hq,-hr,= i,/->o+(72-t-''2 = i» •••)• On suppose que, à chaque partie, l'un des joueurs gagne 2"', chacun des deux autres perdant i"'.

Si, sur a parties, le joueur A a gagné X parties, il en a perdu [Jt- — X et sa perte totale est

fX-X— 2X=/JL— 3X.

Si le joueur B a gagné Y parties, il en a perdu JJ- — Y et sa perte

totale est

IJ. — Y — 2 "\' = (jL — 3 Y.

La probabilité pour que, en a épreuves, l'événement de probabilités successives p,, p., ■-, pa se produise X fois et l'événement de probabilités successives q^, q^, ..., q^, Y fois, est la probabilité pour que, en L«. parties, A gagne X parties et B, Y parties ou pour que A perde la somme a — 3X et B, la somme u. — 3 Y.

Cette dernière probabilité est exprimée par la formule du n" 541 ; on a, dans le cas considéré,

^5(pL) = 2(3,7-.). 4/3(^1) = i(3/--.),

?,(pL) = .82^(1-7), 03(fx) = i8Ir(i-/-),

1p(i—p) --ipq

'^ipq ^q{\ — q)

366 I.. l'.Af.iiKi.ii u.

La prohaliililf pour qiu' rcvoiuMiiciil dr prohaliililt'S/^, p., ..., y^ se protluisf X lois cl révciit'iiioiit do prul)altiliti's </,, q^, .... q^^, Y fois en u. épreuves est donc

ix-i:/.i'^»/ii-,/i-Hi!t-^;.)iv-:::./ii:»;>7-'-'v-^7i'^;'i'-/'|

M désignant le délerininant

Cette formule, rtahliecn snp|)osanl la l'oiitinuilé, n'est applicable (|ne si a est un i,'ranil nombre.

ô'iC). La plus grande probabilité a lieu lorsque X = lp et\ = Zq. La valeur movenne de X est l/>, la valeur moyenne de Y est I.q.

Les quantités X/j et Sy sont donc les valeurs normales des nombres des arrivées des événements.

Si le premier événement se produit Ip -+■ .r fois et le second I,q -\-y fois, on dit (|ue les écarts sont x Q\.y.

La probabilité pour que les écarts soient x eiy est

• dx dy.

547. Probabilités mêlées non uniformes. — La probabilité pour que l'événement A' se produise seul est p, à la première épreuve, p^ à la seconde, . .., p^à la [jl'*""".

La probabilité pour que l'événement B' se produise seul est q, à la première épreuve, q., à la seconde, . . . , q^ à la u.'"""'.

Il y a de même les probabilités successives r,, r^, . ■ . , r^ pour que les événements A' et B' se produisent tous deux et les probabUités / , , t„, . . . , t^ pour (ju' aucun des événements ne se produise.

Quelle est la probabilité pour que, en ^épreuves, l'événement A' se produise \fois et l'événement B', Y fois?

Supposons que trois joueurs A, B, C jouent aux conditions sui-

vantes: Le joueur A a successivement les probabilités (p, -+-r,), {Pi -•- ^2). ■• •. (/'uL + '■(i.) pour perdre i'"" et les probabilités (i — p. — ^i)> {i — p., — r.), ..., (i — pa — r^) pour faire partie nulle.

Le joueur B a successivement les probabilités (7, -f- r, ), {q-.-^r^, ...» (<7(i-i-0 pour perdre i ''■'et les probabilités (i —y,— /•,),..., fi — ^u. — 'v). pour faire partie nulle.

Le joueur C a successivement les probabilités r,, r.^, . . ., /-jj. pour gagner 2'% (p,-hq,), (p, + </,), ... (p^, + (/^) pour gagner i''' et/,, /o, . . . , /ji pour faire partie nulle.

La probabilité pour que l'événement A' se produise X fois et l'événement B , Y fois en u. épreuves est la probabilité pour que le joueur A perde X francs et le joueur B, Y francs en ijl parties.

Cette probabilité est donnée par la formule du n° 542. On a dans le cas actuel

4/,(pi) = 2;(-/>-r), J;,(pL) = i(-<7-r), J>3(fjL) r= 2 (ar + /> -f- 7).

o,(lJ.)—l2{p-^r)(i — p — r), o,{iJ.) =l2(q-i- /•),{! — r/ — r),

03(^) = l2(p -h q + Âr — [■2'- -h p -h q]-)-

l = y,[l{p-^r)(i-p-r)]\l{q + r)(i-q-r)]-[l{pq-rt)Y-[. La probabilité cherchée est donc

■,\[^{p+r\i\-p-r][:i,q-^r\,\-q-r^'\~['i:ipq-rtY\

T.^/\ ; [l{p -^ r) (1-/J- r)][l{q+ r) {. - </ — /■)] - [Kpg - rt)Y '.

Cette formule suppose la continuité, elle n'est applicable que si a est un grand nombre.

548. La plus grande probabilité a lieu lorsque X = -(/>-!-/•) et Y = I.(q-\-r). Lavaleur moyenne de X est Z(p + r), la valeur moyenne de Y est 2(7 -t-r).

Les quantités l(p + /• ) et ^{q -+- r) sont donc les valeurs normales des nombres des arrivées des événements.

Si le premier événement se produit [2(/> -\-f)] -+-x fois et le second [S(y + r)] -H j fois, on dit que les écarts sont x et v.

368 !.. IIAC.IIKI.IEH.

La prohabilité pour (pic les écarts soient x ety est

[i;j((/-i-/Mi— 7 -/■,). i'+[ii; lira- </i]j-j + [i;» ii)+i> 111— p-<')]j" , ,