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5.M. Probabilités connexes. — Nous avons admis jusqu'à présent rindépendance, c'est-à-dire que nous avons considéré les conditions relatives à une partie comme indépendantes des parties antérieures.
Nous allons étudier maintenant les probabilités connexes du premier genre à deux variables. Nous dirons qu'il y a connexité du premier genre quand les conditions à une partie dépendent uniquement de la perte actuelle des joueurs et du rang occupé par la partie considérée.
Nous supposerons que les fondions d'instabilité o,, s,, ^3 relatives aux trois joueurs sont constantes et que, pour chacun d'eux, l'espérance relative à une partie est égale au produit de sa perte actuelle par une quantité n qui peut être variable d'une partie à l'autre, mais qui, à chaque partie, est la même pour les trois joueurs.
Si, par exemple, à la ij.''""' partie, les joueurs ont perdu les sommes x, r, —{x-^y), leurs espérances pour la partie suivante sont ax, ay, —a{x-\-Y)-
Le jeu considéré est comme on voit uniforme relativement aux fonctions d'instabilité, mais non relativement aux espérances.
Le jeu élant ainsi défini, une analyse analogue à celle du n° 300 mais plus laborieuse conduit au résultat suivant :
La probabililé pour que, à la u.'™" partie, le joueur A ait perdu la
CALCUL DES PROnAIilLlTÉS. 5-] 1
somme ,r et le joueur- B la somme y est
, ?,.r'-H?i-t-?; — ?,Kiy + Çi.v-
JJKIU.
■ dx dy.
,'-?l?; + 20, 5;,-t-2»,?j — 5;— ?:; — OJ KIU.I
F (a) étant l'intégrale de l équation différentielle d¥
Si, en particulier, a est constant, on a
Nous appliquerons ce résultat à la solution approchée du problème suivant :
552. D'une urne qui contient m houles blanches, n houles noires et k boules rouges, on extrait successivement «j. boules sans les replacer dttns l'urne. Quelle est la prohahdité d'une composition donnée de Vurne!
Si, en u. tirases, il sort — r -t- x boules blanches, — '^- r -i- y
boules noire est — — ; — x—y boules rouajes, nous disons (lue
les écarts sont x et y. La question posée consiste ii chercher la probabilité pour que les écarts soient r et j en y. épreuves.
Supposons que trois joueurs A, B, C perdent, à chaque partie, des sommes respectivement égales aux accroissements des écarts x, y, — (x-{-y) au tirage correspondant. Supposons encore que [a tirages aient été effectués et que les écarts soient ic et y.
Au tirage suivant, il y a probabilité
(.V — y.) ni — ij-
(5 désignant la somme ni -h n + k) pour qu'il sorte une blanche et par , , , ,11 ■ . X — m
suite pour que 1 écart x augmente de la quantité ■
!.. liACIiri IKIi.
Il \ ;i ili' inciiic |)rii|i;iliilil(''
(.y — m) (s — fjL.) + x.r
pour (|iril ne sorte pas uni' hlanclii' ot par suilc (|iio l'écart x climiimc
I/cspérancc niathi''inali(iiii' du joiiour A pdiir lo tirage considéré est
donc
L'espcraiicc inalliéinaticiiie du joueur B est do même •
Les cs|icrances mathématiques des joueurs A et B sont donc constammenl proportionnelles à leur perte totale et la quantité précédemment désignée par a est— —-•
La ronclioii d'instabilité relative au joueur A a pour valeur ' m{s — (i){s — m) -h .vs''{2S — m) .r-
Si les probabilités de sortie des boules étaient constantes, les écarts x et.y seraient de l'ordre de v';-^('i" -jS.)), et par suite ils seraient négligeables comparativement à fx. Il en est de même à plus forte raison dans le cas actuel, puisque les écarts ont une tendance à diminuer d'aulaiit |ilus grande (jue ces écarts sont plus grands eux-mêmes; weiy sont donc négligeables comparativement à p. et par suite comparativement à //;, /i, /c([u\ sont de grands nombres supposés du même ordre (|ue u..
La fonction d'instabilité relative au joueur A se réduit donc, en négligeant r, à la (|iiantité
Les fonctions Çj et Ç;, ont de même pour valeurs
2 It [ S — Il ) ■.). /.• ( .S' — k )
Les fonctions d'instabilité étant constantes et les espérances étant
CALCUL DES PUOli.VIÎILITF.S. '^']^
proportionnelles aux pertes actuelles, on peut appliquer nu problème dont il s'agit la formule du n° 551. La fonction F([ji.) est l'intégrale de l'équation
dV „ / ^ 5
c'est-à-dire, pour le cas actuel,
2 F , /rnn/i
àF On a donc
La probabilité pour que le joueur A perde la somme r et le joueur B la somme y, c'est-à-dire la probabilité pour que les écarts soient x et y, a pour expression
— dx dy .
2 T. \j innk fjt (.« — \x)
Si l'on désigne par/?, q, r les quantités — > -1 -. l'expression ci-dessus s'écrit
1/ Il — 71 r' -f- ; /)(/ .1-)- -I- /) 1 1 — /'. ,1-' f
— dx dy.
En comparant ce résultat à celui ([ui a été obtenu au a" 525 et «jui serait relatif au cas où l'on remplacerait les boules dans l'urne après cliaque tirage, on voit que les écarts sont diminués dans le rapport de
553. Reprenons la question relative aux joueurs (n° 551) : Si l'on suppose que, a, parties ayant été jouées, les joueurs A et B aient perdu les sommes a?, et y,, quelle est la probabilité pour que ces joueurs perdent en tout les sommes x et y après une nouvelle série de [i. parties?
Pour résoudre ce problème (pour lequel nous supposons la quantité a constante), nous écrirons de deux façons dilférentes la proba-
374 '• i;\< lin iFi!-
bilito pour (|iu' li's joueurs A cl 15 aient porilu les soniiiics .v el y (Ml a, -t- a parties.
('.elle prohabilité a poui' v;ilriir
j,, 9,.r' + iq),-t-9.-iy,l.r.v + 9,.y'
AHi+ fJt, o, o, x,y)— — "*
Soit /([JL, a-,, }',, .r-, v) la prol)aI)ilité cherchée; la prohabilité pour que, en a, parties, les perles soient a;, elj, et pour qu'elles devienneul ensuite a- et v après les [x parties suivantes est, en vertu du principe des probabilités composées,
7i V'2 9|Oî+ AOiOi-h 29593 — 9Η 92 — O3 [• — e--"!^!]'
En intégrant cette expression pour toutes les valeurs de x,, y, on obr tient, d'après le principe de la prohabilité totale, la prohabilité pour que les perles soient a; et j en a, -+- a parties; on doit donc avoir
AlJ-i + IJ;0,o,a:,y)
J-, J^, 7rv/29,9j+29, 93-^29,9,-9=— 9^-9|[i — e-2"P-,]-' '^ ^j^ji ij^
Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la fonction/.
Cette équation est satisfaite identiquement si l'on pos»
^^^?!(-'---'-i e-'^^■)^'-^ is,-m,- y,i(.r-j-, e-"!*) {y-y, e— i^)-np,(y-.v, e-'i*)' 7:^/29,9,-)- 29,93+ 29593 — o^^ — cfl — cflli — e--"!^]
Telle esl l'expression de la probabilité cherchée.
554. L'urne A contient m boules blanches, n boules noires et k boules rouges : l'urne B contient m' boules blanches, n' boules noires el k' boules rouges. A chaque épreuve, on tire en même temps une boule de A (ju'on
place dans B et une hùule de B qu'on place dans A. Quelle est la prohahilité pour que, après u. épreuves, les urnes aient une composition donnée?
Désignons par s la somme m + « + /- + m' -\- n -i- X' de toutes les boules; nous disons que les écarts sont r et v quand il y a
boules blanches dans l'urne A et
boules noires dans l'urne A.
La question peut s'énoncer ainsi : Les écarts ayaul initialement des valeurs données x^,y^, quelle est la probabilité pour que leurs valeurs soient r et j après [x épreuves?
Si les écarts sont x et v, il y a
boules rouges dans l'urne A; de même dans l'urne B, les nombres des boules blanches, noires et rouges sont respectivement
(m + 1)1 ) (rtV'-h /('+ /.') {n -t- n') (m' + n' + !<' )
Supposons que trois joueurs H, K, L perdent, à chaque partie, des sommes respectivement égales aux accroissements des écarts r, y, — r — r, au tirage correspondant et supposons que les écarts soient X et j.
Au prochain tirage, il y a probabilité
i- .^ , '-, V— [( n + n' + /,■ + k' ) {ni' + n' -+- /,' ) + xs]
s-(ni -i- n-h k)(ni'-h n -h k')'- '^ ■"
pour que l'écart .r diminue de un.
37(> '■• luciiEi.iF.n.
Il V ;i (le mi'iuc |ii(ili;iliiliir'
pour que l'écart a- augmente do un.
L'espérance mafhéniati(ine du jmieur 11 pour le |ir()cli;iin (irage esl donc
SX
Celle du joueur K est de même
iZ
Ces espérances sont [)roporlionuelles à a; et à j et la (|uautité précédemment désignée par (i a pour valeur
( »H- rt + A- ) ( m' + n' + /.-' )
Nous supposerons que m,n,k, m',n, k' sont de très grands nombres auprès desquels les écarts initiaux
mil' — i)i' Il -y- nik' — m' k s
et
nk' — n' k ■+- uni' — n' m
sont négligeables. Les écarts a; et j seraient de l'ordre de \/u. (que nous supi)osonsde l'ordre de ^tn, \'n, . . . ) si aucune cause retardatrice ne tendait à en diminuer l'amplitude; ils seraient donc négligeables
comparativement à m, n, Dans le cas actuel ces écarts sont à plus
forte raison négligeables comparativement à m, n, ... et, en les négligeant dans l'expression do la l'onction d'instabilité relative au joueur H, celle-ci a pour valeur
^{in -i- m' ) (n + n' -^ k -\- k' )
on a de même
r.AI.r.lI. DES PnOBAIill.ITKS. []r-J
Les espérances mathématiques des joueurs étant constamment proportionnelles à leurs pertes et les fonctions d'instahililé étant constantes, la probabilité pour que les joueurs H et K perdent finalement les sommes x et y ou, en d'autres termes, la probabilité pour que les écarts ayant initialement les valeurs a;, et v, prennent les valeurs .ï- et v après u. épreuves est donnée par la dernière formule du n" 553 dans laquelle on doit remplacer les quantités .r,, v,, a, o,, s^' ?.i parles valeurs que nous venons d'obtenir.
555. Dans certains cas il est possible d'obtenir l'expression des probabilités quoique les espérances relatives à chacun des joueurs ne soient pas proportionnelles à leurs pertes actuelles.
Nous supposerons que pour les trois joueurs A, B,Gla fonction d'instabilité ait une valeur constante ç;,, et que, ces joueurs ayant perdu les sommes œ, y, — (.r+ y), leurs espérances pour la partie suivante soient respectivement aa.r-i-ay, ay — ax et —ax — 'iay\ a étant constante.
Dans ces conditions, une analyse analogue à celle du n°551 conduit au résultat suivant :
La probabilité pour que, après u parties, le joueur A ait, perdu la somme x et le joueur B la somme y est exprimée par la formule
^sflae ^■'— ',.,..
556. Trois urnes A, B, G contiennent chacune m boules hlunrhes et m boules noires ; chaque épreuve consiste à tirer une boule de A pour la placer dans B, en même temps qu'à tirer une boule de B pour la placer dans C, en même temps qu'à tirer une boule de (] pour la placer dans A. Quelle est la probabilité d'une composition donnée des urnes après u. épreuves?
Nous dirons que les écarts sont.r et y s'il v a m-i- r boules blanches dans l'urne A et m + y boules blanches dans l'urne B.
Si les écarts sont x et y, il y a m — x boules noires dans l'urne A, m —y boules noires dans l'urne B, m — .t ~ y boules blanches dans l'urne C et m -h x -h y boules noires dans l'unie (].
'i-jS 1.. liMnir.I.IF.K.
Sii|ti)(tsoiis (|U(' trois jniKiirs II. K. L perdent, ii clia(|ue parlie, ilos soiiiines respectiveineiil éj<ales aux accroissements clos écarts, au triple tirage corres|)on(l;mt. et supposons que ces écarts soient .r, j et —(a- -h y).
A la prochaine épreuve, il y a probabilité
pour que .r augmente de un, et probabilité
pour que x diminue de un.
L'espérance mathématique du joueur H est donc, pour l'épreuve
considérée.
