I -I- 'ij:- = Oj

mais ce facteur commun , étant éjj.ilé à zéro, ne donne aucune v.tleur réelle de X.

THKORIK UKS COUHI.Kb l'I.ANKS. ■.\n'J

on tiouve

ot la valeur

rend nul le facteur commun i — 2 x-.

Pour trouver les valeurs correspondantes de >-, nous remarquerons que l'équation de la courbe revient à

Y rz: 1

ce qui, pour 2x- = i, se réduit à

Afin de savoir quels sij^nes il faut choisir, supposons d'abord que l'on pYenne

et remarquons qu'il s'agit de la parallèle à l'asymptote dont l'équation est

et pour laquelle x ^ o donne jr <^ o. Il en sera donc de même pour la branche de la courbe dont s'approche cette droite; par conséquent

.r = H — donnera y = —— — i ;

(" ) Ou p\ui6l il

car il serait facile de constater que la branche représentée par

fst la seule dont s'approche l'asymptote pour laquelle ^ =^ — *.

2^6 CHAFITRE SEPTIÈME.

(le mt'me

^ = — donnera JK = i p ( )•

III. On peut chercher j)ar la même méthode des asymptotes /^flrrtio//<jfKt'j d'un degré quelconque, c'est-à-dire dans lesquelles rordonnée est exprimée suivant diverses puissances de l'abscisse.

Soit, par exemple, la parabole dont l'équation est

j z=z ex- H- ilx H- e.

Ponr que cette courbe soit asymptote, on verrait, comme cidessus, que l'équation donnée peut se mettre sous la foime

1 = ex' -f- dx -r r' -f- V,

V étant une quantité qui devient infinie pour x = o. On aura, comme pour l'asymptote recliligne ,

et enfin

par conséquent

t: z= y — cx^ — dx — V ;

y y ^— cx"^

c = lim — 1 d =^ lim : c = lim ( j — ex''- — dx),

On est encore conduit quelquefois à trouver des asymptotes curvilignes par le procède employé pour celles de l'hyperbole dans la discussion générale des courbes du second degré. '

Supposons que l'équation de la courbe donnée puisse se mettre sous la forme

(*) On sait qne , dans une courbe d'un degré supérieur au second, une

tangente en un point peut couper la courbe en d'autres points; cela peut

donc arriver aussi po»rr les asymptotes : c'est ce qui a lieu pour la courbe

dont l'equalion est

y* — x' -+- inx*x = o.

THIOniK UKS CCnjRlîKS PI.ANKS. 2']']

Cl comparons l'une dis hîaiulics d»' colle coiirl».' avcr la hiarulic conTspondanle de la lii^iio (|iii aura pour équation

La différence entre les deux ordonnées sera

Si nous supposons que V diminue à mesure que r augmente, ou même soit indépendant de x , et que les quantités 'f{x), }(•*") «lugmentent, au contraire, en même temps (l'une des deux pourrait aussi être indépendante de x), il est facile de voir que les lignes droites ou courbes représentées ])ar les équations

sont asymptotes de la courbe donnée.

Ainsi , la courbe représentée par l'équation

a pour asvm})totes les hyperboles dont les équations sont

2 jr