I. Soit

) =1 ex -\- d

l'équation d'une asymptote à une courbe quelconque dont l'équation est

il faudra (pie cette dernière équation puisse se mettre sous la forme

y = CX-^d~\- V,

la quantité représentée par V devant diminuer quand x augmente et devenir nulle pour a- = oo . Alors

cl l'on trouve

lun - = c

in 7. CHAPITUli SKPTIKME.

pour jr =r ce , |iiiisqu'il reste alors ^+ V

On aura ensuite

(i = y — ex — V,

ou bien, puisque V devient nul à la limite, on obtient

<^/ = 1 i m I ) — ex /.

On pourrait s'étonner de voir que i — r.r prenne une valeur finie pour des valeurs infinies de x et de r, mais il faut ohscrver que la différence de deux (luantités infinies peut quelquefois être une quantité finie.

II. Cela pose, il reste a calculer ces limites ])Our une courbe algébrique quelconque.

Cette équation, étant de degré m, a un certain nombre de termes de puissance m, que nous représenterons par

U = A xP j-î H- B x'r' -h . . ., de sorte que

y; -t- 7 =r r -+- .s= . . . rrr m.

On aura de même un autre groupe de termes de degré m — i ,

U, = A, xPi^}-^^ -\- B, x'-iy'' + . . . ;

un groupe de termes de degré m — 2 ,

U, = Aj xPij^i H- B^x'-î j*2 4- . . . ,

et ainsi de suite : de sorte que l'équation sera

Dans cette équation, il faut faire r = ex et chercher la valeiude c correspondante à j: ^ zt co . Or, si l'on pose

T = Ac7+ Bc^-t- . . .,

T.^A.cîi 4-B, c^i H- . ..,

T.,= A.cîM-BîC'i-i- . . ., l'équation devient

Ta'" + T; x"'-' -H T,x">-- -f- . • . = o

ce qui, pour ^=±00, donne

c'est-à-dire

équation qui s'obtient en changeant dans U x en 1 et v en c. Pour trouver d, changeons dans l'équation de la courbe

> en ex -}-r/,c étant maintenant une quantité connue. Soient T',T",... les dérivées successives de T ; soient T', , T'j , . . . , celles de T, , et ainsi de suite : on trouvera facilement

T.C" + (T' r/ -h T, ) 0;-"-' -h ( — rf- H- r, d-\-TA .j:"'-' + .. . =0.

On sait déjà que T = o , ce qui fait disparaître le premier terme : divisant donc par x"'"' et supposant z = dbco , il reste

ce qui donne une valeur de d pour chaque valeur de c.

Si pourtant on avait à la fois T' = o , T, = o, il faudrait |)oser

et ainsi de suite.

Cette méthode ne donnerait pas les asymptotes parallèles à l'axe

des j-, pour lesquelles on aurait c = 00 , mais on les obtiendra en

supposant l'équation ordonnée par rapport à > . Soit alors

Sj'' + S,j"-' 4- . ..= 0

cette équation, et divisons-la par r"; il est clair que les seules valeurs finies de x qui correspondent à y =rfc 00 sont données par

l'équation

21^4 CHAriTRF. SEPTIÈME,

Si l'on applique celte métliode à la courbe (jui a pour éijiia-

tion

on trouve

pour érpiation des asymptotes, qui sont, par conséquent, les bissectrices des angles de coordonnées.

On peut aussi demander quelles sont les tangentes ])arnllè[cs nu.r asymptotes, connaissance nécessaire pour limiter certaines branches. Il sufGt, pour cela, de pojer s = c dans Tcquation

et d'éliminer entre cette relation et l'équation de la courbe. Nous aurons donc ici

La valeur :; r= i ne donnera rien (*), mais pour s = — i on trouve

En effet, en éliminant d'abord y- entre la relation