IV. Si r équation de la courbe

P=/(«) est donnée en coordonnées polaires, on peut trouver directement les asymptotes rectilignes. 11 est clair qu'on aura une parallèle à l'asymptote si une valeur cj' donne

On verra facilement (|ue la distance d'un point de la courbe à cette

parallèle sera

. , , , , . , sin fw' — w)

r> r:= ù sin(M — '•) I, ou bien cf = -r

27^» CHAPITRE StPTIKME.

A la limite, c'est-à-dire pour

w = fc) et — = o ,

on aura la distance de l'asymptote à celte parallèle. Or, pour obtenir cette limite, on sait (40) qu'il faut prendre la dérivée de sin(w' — 6i), qui est — cos(w' — w) , on bien — i pour w' = w,

et diviser par la dérivée de -■> où l'on aura fait &» = w'. Soit

P dorkc

il reste

foir Dclisle et Gerono.)

MAXIMA ET lUINIMA DES VARIABLES.

99. On appelle /joints singuliers, les points où la courbe présente quelque particularité remarquable. Les uns tiennent d'une ' manière absolue à la nature de la courbe; les autres sont relatif'; au choix des coordonnées, et sont, par conséquent, les moins imj)ortants (*), Cependant c'est par eux que nous commencerons, parce que leur étude nous servira par la suite à trouver les autres points singuliers.

Ces points singuliers relatifs sont ceux pour lesquels les coordonnées sont maxima ou minima. Nous pourrons donc résoudre ces questions par les méthodes que nous connaissons pour la recherche des maxima ou des minima des fonctions explicites et implicites, mais nous pouvons aussi traiter directement cette (juestion en observant que, dans ces points, les tangentes sont nécessairement parallèles à l'un des axes.

Ainsi, soit un point où r est maximum ou minimum, c'est- à-

(*) Néanmoins, les sommcif des coTirI)cs, c'est-à-dire les limites dc!' toordonnées |)arallèles ans n.rrs de la «oiiihe ' 90), sont des points d'mf importance fai ilo .'i r:iii'C^"iv

THi'uinii, 1)1 s cduhhf.s ri.ANts. 'J.']^)

tliro plus yraiiil (iii plus pilil <(ik- k's valeurs (|ui siiivciil on (pii j)ic'cc(icnl iiniiu'dialciiunt ; il est clair (pic la lanj;cnle sera paral-

Icio à Pave dos x : on aura donc dans l'expression z =r — —i

el , par conséquent,

Si, an contraire, il s'agit du niaxinuini on <\y\ niinirnuni de x, la tangente devenant parallèle à Taxe des )•, on aura

z = a^ et Y =^ o.

Cependant cette méthode serait en défaut si la même valeur qui donnait X = o, donnait aussi Y = o. Alors il faut revenir aux méthodes qui donnent les maxima et niinima des fonctions (36 et suivants).

En général, une tangente dans une direction quelconque donne les limites de la courbe suivant cette ilirection, du moins aux environs dn point de contact.