CONCAVITÉ ET CONVEXITÉ. POINTS DTNFLEXION

iOO. On dit qu'une courbe ou plutôt une portion de courbe est concave relativement à un point de son plan, lorsque, si 1 on joint ce point à un point de cette partie de courbe et si Ton mène une tangente à ce point de la courbe, la portion de couibe est comprise entre la tangente et le point donné.

Si, au contraire, la tangente est comprise entre la portion de courbe et ce point, on dit que cette partie de courbe est convexe par rapport à ce point.

Or on trouve quelquefois des points de la courbe où la courbure change, c'est-à-dire tels, que, dans les points (jui précèdent immédiatement, la tangente est, par exemple, au-dessus de la courbe, tandis qu'elle est au-dessous pour ceux qui suivent immédiatement. Ces points, qui sont évidemment des points singuliers de nature absolue, comme tous ceux qu<" nous étudierons par la suite, s'appellent points d'inflexion.

Soient ;\I (/f^'^.zjG^ le point (rinHi-xion, NT la tangente au |)ointN

placée au-dessus de la combe comme nous l'avons supposé, K'ï' ^'*S- ^\(^- la tangente en N' située au-des-

sous de la courbe ; on voit que la tangente MP au point d'inflexion sera intermédiaire entre ces deux portions, puisqu'elle sera au-dessous de la portion de courbe MN et au dessus de MN'.

Par conséquent, si l'on imagine le mouvement de la tangente de IN en N', on voit que cette tangente en N ira rencontrer l'axe des -v en T, à gauche du point P, où MP coupe ce même axe. Quand la tangente se rapprochera du point M , le point T se rapprochera aussi du point P et finira par l'atteindre, mais ne pourra le dépasser. En effet, quand le point de contact viendra de M en N', le point T' s'éloignera de P et repassera à gauche de ce point. Donc l'angle a que fait MP avec O X est l'angle maximum entre ceux que font les tangentes aux environs du point M.

On ferait voir absolument de la même manière {fig. 47 ) fl"^ si

la tangente est placée en N au-dessus de la courbe, et au-dessous en N', l'angle a que fait avec l'axe des x la tangente au point d'inflexion, est au contraire un minimum.

Mais, dans les deux cas, cet angle a est une limite au point d'inflexion, et il en sera de même pour le coefficient z de la taui^ente. En effet.

sin ( 9 ■ 0 étant l'angle des axes : on a aussi

sin 'î rot a — ros (9

THKOniE DKS (OIÎRIIF.S PLANES. •>8t

ce fjiii montre que, si a est iiiaxininin , col x est niiiiiiiMiin , ainsi que le dénominateur; donc z sera maximum on même temps que a. Même observation pour le minimum.

Cela posé , imaginons qu'entre l'équation

de la rourbe donnée et la relation

on ait éliminé ) ; il restera une relation

que l'on pourra regarder comme l'équation d'une courbe dont x serait l'abscisse et z l'ordonnée. On trouvera donc le maximum ou le minimum de z, comme on a trouvé ceux de^: ce qui donnera les points d'inflexion. Il faudra donc chercher la dérivée de cette équation par rapport à r , et l'égaler à zéro {*).

(") Cela revient à

dz

dx = ''-

ou bien, comme on n <

l'^ja

dr

il faut poser

dx- "■

F.ii eflet -^ = o résulte dr Ivciualion dx

comme on le voit par la relation

(jui donne

Du reste, nous verrons ( {02^ '|ue l'on jieul r|iiL'i<)iicfoi> , par eel(e tlifumconfondre un pnirit d iiinc\i<.ii avec nn p'diil de nl>r(Missemenl de premicn {"^pèee

282 CHAfirrK Stl'Tli.ME.

Il est cliiir (|iic' Ton pourrait aussi bien cliiuiiicr > tt avoir l'éc|uation

sur laquelle on opérerait de la même manière; on choisira, de ces deux éliminations, celle qui donne le calcul le plus simple. On peut encore , si cela est plus avantageux , poser

ce qui fait souvent disparaître des facteurs conmiuns dans X et <lans Y .

Si la courbe est donnée en coordonnées polaires, nous savons que, 6 étant l'angle (jue fait la tangente avec l'axe, on a

tang ( 0 — 0) : = '—— ,

et nous savons aussi que 0 sera un maximum on un minimum pour les points d'inflexion. Alors il faut remplacer p par sa valeur en fonction de m, et après cette élin)ination ,

y ■=. lang 0 , x = tang w

seront les coordonnées de la courbe que l'on imagine pour trouver l'inflexion, en cherchant la limite de 1 .

Enfin, on conçoit qu'un point d'inflexion doit être regarde comme la réunion de deux éléments , appartenant à chacune des deux portions de courbe, c'est-à-dire comme la réunion de irois points. Donc, pour qu'une courbe ait un point d'inflexion, il faut au moins qu'elle soit du troisième degré.

Comme application , nous allons chercher les points d'inflexion de la courbe dont nous nous sommes déjà occupés, et qui a pour

équation

Nous remarquerons d'abord que l'origine est un point d'inflexion , car l'axe des x est tangent à l'origine, et la courbe passe au-dessus et au-dessous de cet axe. Pour trouver les autres points

d'inflexion , posons

TIIIORIK DES COlTRItl.S PI.ANFS.

l\'(jii;Ui»)ii (lo li» courbe (Icvicndiii , rn divisant |»ar .< ,

ensuite

eu divisant haut et bas par a', ou bien

(2) 3 — t" = Q.tz — — ••

IMultiplions l'équation (1) par z cl Téquation (2) par l , puis ajou tons : il vient, en supprimant zt'' de part c,t d'autre et réduisant ,

3r — ;' =r r'z -I- 3, et enfin

(3) t' -\- zt'— 3t -\- z=zo.

Pour trouver la limite de z, égalons à zéro la dérivée de eelte dernière équation par rapport à t , nous aurons

(4) 3 t - -^ 7. tz — 3 = o ,

ce qui donne

Transportons cette valeur dans l'cqualion (3), on a

OU bien

zr-{r--3) -h3(i-/'):=o,

ce <pii donne encore

Donc

r '^- bt^ — .-> = o.

t- = -~ 3drv'72,

ou piiilnj, rni)i!)U- /•""> O , el 'jue V 12 ^rr. 2 \' 3 , on ;» (' =: ? V"» — 3

284 riIAlUTRK SlilTiiMK.

et l'équation (1 dunnc t

«l'où

et .r

par conséquent,

ou enfin

De là on conclura •

.r = rt 1 , 1 3 ,

à peu près, et, comme on connaît déjà t , on trouvera aussi r et z.