POINTS MULTIPLES, POINTS CONJUGUÉS

ICI. On appelle point multiple un point où se réunissent deux ou plusieurs branches de la courbe : on peut en distinguer de deux, espèces, par intersection et par contact. Quand deux branches se coupent, c'est-à-dire quand elles ont au point de rencontre des tangentes différentes, il est facile , comme nous l'avons vu , de déterminer ces tangentes, et, par suite, d'avoir la marche des deux branches; mais quand ces branches se touchent, c'est-àdire qu'elles ont la même tangente au point commun , il faut, pour suivre les directions des deux branches, donner à x el l\ j différentes valeurs aux environs du point multiple. On peut ainsi vérifier, par exemple, si les deux branches sont du même côté de la tangente au point multiple, ou de côtés opposés.

On trouve quelquefois des |)oints isolés qui font partir d'une courbe, c'est-à-dire dont les coordonnées satisfont à son équation. Ces points s'appellent àe% points conjugués; voici comment on peut concevoir leur existence.

Imaginons une courbe dont l'équalion contienne un certain nombre de coefficients , et supposons que celte courbe se corn-

THKOBIE 1)KS COURIIKS PLANES. a85

pose de (U'ux parties dont runc soit fermée ; ensuite admettons que, pour une valeur particulière donnée à un ou à plusieurs des coefficients de l'équation, cette portion fermée se réduise à un point, comme le cercle dont l'équation

qui ne représente plus qu'un point quand /=o; on obtiendra alors un point conjutjué.

Comme toute ligne passant par ce point pourra être considérée comme une tangente, on aura

et un point conjugue présente le caractère d'un point multiple ; mais ici il est clair que l'indétermination pour la direction de la tangente sera complète et réelle.

C'est ce que l'on peut observer pour la courbe dont l'équation

générale est

ay- = x' — bx-.

Faisons comme cas particulier

il reste

aj- = x^ — nx',

ce qui donne

j' = .7,M- — I et j

Admettons que n soit positif, il est clair que r ne sera réel que si l'on pose

Cependant r = o donne

donc l'origine est un point conjugué.

Dans ce cas, on a un point d'inflexion pour .r =: — •

CHAPITRK SEPTIEMK.

REBROUSSEMENTS , POIXTS D ARRET, POINTS SAILLAiXTS.

102. Les branches qui forment un point multiple proprement (lit se proîonj^ent de part et d'autre de ce point : si, au contraire, elles s'y arrêtent brusquement, on dit que c'est un point de rebroussement ; nous supposerons qu'il n'existe que deux branches.

Il peut encore arriver que les deux branches aient la même tangente ou deux tangentes différentes, mais l'on réserve plus spécialement le nom de rebroussement au cas où la tangente est commune; sinon, on dit que le point est saillant ou anguleux.

Fig. 48.

Fig 49- 11/

On dit que ce rebroussement est de première espèce quand les deux branches sont de côtes opposes de la tangente {fig. 48), et de seconde espèce quand elles sont du même côté [fig. 49)-

Les rebroussements de première espèce sont les plus ordinaires; on peut donner une formule pour les déterminer.

Soit M un point de cette nature (y?g. 5o) où s'arrêtent les brandies MA et MB , et supposons, pour fixer les idées , que OP = ^ , abscisse du point M, soit un minimum de X. Puisque le rebroussement est de première espèce, il est facile de voir que deux points N et N', pris sur une même ordonnée à droite du point M, donneront des tangentes, l'une plus inclinée, l'autre moins inclinée, que la tangente MR commune en R aux

Fig.DO.

THKOnih DKS COliniîl'S IM.ANES. iS'J

lieux brandies. Si donc on construit //g. 5i) une courije SUS' Fig. ji. (jiii ait les nicnics abscisses que la

;t I ly^. courbe de la Jii^.So, de sorte que

OC = OP et OD = OQ, et dont les "I I ordonnées soient les valeurs successives

^^ de l'inclinaison z de la tangente dans

^ cette prcnnière courbe , on voit que les

~ô] c~ï) T~ lieux valeurs DS, DS', qui correspon-

dent à OD, sont, l'une plus grande, l'autre i)lus petite queCH; par conséquent CH est une droite tangente à la courbe SUS' et parallèle à Oz; on la déterminera donc en égalant à zéro la dérivée (le

prise par rapport h z : 9 (z, .t) := o étant Tcquation de la coiu'be SHS', laquelle s'obtiendra en éliminant y entre l'équation

f[x,y)z=zo

de la courbe proposée , et la relation connue

On peut aussi, comme un le fait très-souvent. dans la discussion des courbes, prendre pour variable indépendante le rapport

(*) On verrait, comme dans la note du n'^ iOO , que cette relation

dz donne

dy t-n bien , puiscnic l'on a di-ià i = -— ,

dx

aSb CHAPITRE SEPTlÈftir..

Mais il est iiupurtaiit d'observer une circonstance où cette théorie peut être en défaut et faire prendre une inflexion pour un rebroussement de première espèce , ou vice versa. Il pourrait se faire que, dans \iijig. 5i, le point 11 , au lieu d'avoir sa tangente CH parallèle à Taxe des ordonnées, fût lui-même un point de rebroussement de première espèce, avec une tangente commune aux deux branches HS et HS', et parallèle à l'axe des abscisses. Dans ce cas particulier, il est clair que ce ne serait plus la dérivée par rapport à z , mais la dérivée par rapport à x , qui serait nulle, ce qui est le caractère ordinaire d'un point d'inflexion.

La cissoïde de Dioclès, dont l'équation est

x' -h /' ^' — 2 fl r^ = o , donne un rebroussement de première espèce. On trouve

2j(2rt — x) 7.t['2.a — .r)' mais l'équation de la courbe elle-même donnera

.r (i + r-) = 2fl^%

d'où

et 2a — x =

on a donc

dz t{3-h t') et 2 . — = 3 + 3^-' =: 3 (l ^ f^

Si l'on posait

on en conclurait

dt

dz