GO

dt

t = ce

ce qui serait une solution fausse; mais il faut observer que ce n'est

pas —5 mais — qui doit être égal à l'infini. Nous devons donc ' dt dx

chercher

dz dz dt

dx dt dx

Or

et

THKOIUE l)KS (.OIJRIUS PI WkS.

dx 2a (i "h f').2/ — iat'.2.t ^nt

Tt ~~ (i -1-^^^' ~ fi ■+- t^y

d'où enfin

Ponr avoir

il fant poser ic qui donne on en conclut

dt

Tr

(i-hî'V-

dx

%at

dz

Tx:^

r tan

pour l'origine. L'axe des x est donc une tangente commune aux

deux branches qui forment nnrebronssement de première espèce à

l'origine, connue d'ailleurs on peut s'en assurer directement. Nous

avons voulu seulement avertir que l'emploi de t comme variable

indépendante n'est qu'un artifice de calcul , et que les valeurs de

dz . . • /> •

— ne deviennent pas toujours nulles on infinies en même temps

que celles de — -• dx

Enfin, il est certains points où la méthode précédente laisserait

encore dans l'embarras , parce que les branches de rehroussement

s'y trouveraient réunies avec une autre branche avant une autre

tangente. C'est ce que l'on voit dans la courbe dont l'équation est

j' — x' -\- ?. ni^ } = o.

Il est facile de reconnaître directement que, du coté «les ordonnées positives, on a une branche qui a l'axe des r pour tangente et l'origine pour point de contact ; tandis que, dix coté des ordonnées négatives, on a deux branches dont l'axe des y est h tan-

•JQO rHAPITRF. SEPTIEME.

yente commune el qui se réunissent à l'origine où existe par conséquent im rebroussement de première espèce. Comme exemple (le rebroussement de seconde espèce , nous citerons la courbe qui a pour équation

( f'oir Delisle et Gerono , n" 3o2.;

Si une branche de courbe s'arrête brusquement sans qu'une autre branche vienne la rencontrer en cet endroit, (m dit qu'il existe un point (Cnrrét. C'est ce qui a lieu , par exemple , pour la couibe représentée par l'équation

{Jîg. Sa), qui reviendrait à

en changeant y -+-1 en r, et x en — a:,

Fig. 52.

Cette courbe est formée de deux branches fiL, MN dont la première a pour asymptote, dans le sens des abscisses positives, l'axe même des x , et s'arrête brusquement au point B dont les coordonnées sont

tandis que la seconde a pour asymptote Taxe des ordonnées dans le sens positif et l'axe des abscisses dans le sens négatif. En effet, tant que x est positif, la fonction

va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de x de plus en l)lus petites, et finalement s'évanouit avec x, tandis qu'elle tend à devenir égale à l'unité pour des valeurs de x de plus en plus

TUl.ORlt HKS COUninS PI.VNKS. M)I

grandes. Au toiilraiic, luisijiif .' passe par des valciiib iit'galives, le même fraction croît au delà de toules limites pour des valeurs numériques de .r de plus en plus petites, au lieu (pTelIc tend encore à devenir égale à l'unité pour des valeurs uinii(ri(|ucs de ,r de plus en plus grandes.

Comme exemple de points saillants ou anguleux , nous citerons la courbe (jui a pour équation

[Voir Delisle et Gerono.