COURBURE DES LIGNES, CERCLE OSCULATEUR , DÉVELOPPÉES

105. I, Si deux courbes ont même tangente en un point, on peut dire qu'elles sont tangentes l'une à l'autre intérieurement ou extérieurement , et d'ailleurs il est évident qu'elles ont aussi même normale en ce point. Mais si , au lieu d'avoir seulement un élément commun, les deux courbes tangentes ont deux éléments communs entre elles, c'est-à-dire trois points infiniment voisins, on dit qu'il y a oscillation au lieu d'un simple contact.

Deux coiu'bes, d'après leur degré, peuvent avoir un nombre plus ou moins grand d'éléments communs, ou bien une osculation plus ou moins complète, mais un cercle ne peut généralement avoir avec une autre courbe plus de trois points communs consécutifs, puisque l'on ne peut faire passer qu'une circonférence par trois points donnés.

Si l'on mène, pour chaque point d'une courbe, un cercle qui

jouisse de cette propriété, il s'appelle cercle oscillateur, et c'est lui

qui détermine la courbure de la ligne en ce point, puisqu'il a avec

elle un contact plus intime qu'aucun autre cercle.

Quant au cercle lui-même, sa courbure se

mesure par le rapport d'un angle MOM'

[fig. 53) à l'arc MM' correspondant, rap-

port qui est

1 R étant le ravon du cercle

(car on peut définir langie par le rapport de l'arc au rayon : alors l'angle est un nom-

2(|2 CHAPITRi; SIl'TIKMK.

Ijie abstrait , loi (nu- y I • !Mais pour une coiirl)? qucIcoïKHie, ie

cercle oscillateur variant il'un pointa l'aiilro, la courbure seia aussi variable c4 s'exprimera d'ailleurs, d'après ce que nous avons

vu, par — 1 en appelant R le rayon de corde osoulateurau point

que l'on considère.

Ainsi soient A , B , C les trois points infiniment voisins, communs au cercle et à la courbe, et soient M et M' les milieux de ces éléments AB et BC; la courbure sera représentée par le rapport

angle MOM' arc MM'

Le rayon OM = R s'appelle rayon de rniirhif/r , et le centre O, centre de courbure.

vSi l'on mène aux points M et M' dos tangentes communes à la courbe et au cercle osculafeur, elles se coupent en un point T ; l'angle MTM, très- voisin de 180 degrés et supplément do l'angle très-petit MOM , s'appelle Vangle de contingence.

II. On a vu (pie le jioint O {fig. 53) , centre du cercle osculateur, était le point do rencontre de deux normales IMO, RI'O iutiniment voisines.

Concevons donc [fig- 54) l-i série dos cenlros de courbure O, 0', O ",..., elle représentera le lieu géométrique des intersections consécutives des normales à la courbe.

En général, (piand on a une série de droites menées suivant une loi déterminée, les intersections consécutives forment une courbe que l'on appelle V enveloppe de toutes ces droites, et qui est tangente à chacune d'elles, car une quelconque de ces droites, telle que A'0'0', a un élément O'O" commun avec la courbe enveloppe.

Ainsi la courbe PO, enveloppe do tontes les normales à la courbe MIN , sera taiigonte à chacune do cos noriDalcs; cette espèce

TllLoniF. DUS COtJUISKS l'LAM.S- 7\)ù

j>arliculici'c (.l\iivt'lo|)|)t." s'appelle la (Icvcloppéc de la toiiihe ^IN ijui est réciproquement la développante de PQ. Voici la raison de ees dénominations. Imai^inons un fîl enroulé sur la courbe PQ et tendu suivant la direction OA; supposons maintenant qu'on déroule ce fd en le tenant toujours tendu , l'extrémité qui est en A j)assera successivement en A', A",..., et l'autre extrémité en O', O",. •■; on voit donc que la courbe PQ est déroulée ou développée <ians ce mouvement.

On voit (ju'une développante IMN ne peut avoir qu'une seule développée PQ , mais que PQ peut avoir une inûn'té de développantes, puis(pic la loni^ueur primitive AO (iu fil tendu est arbitraire.

Connaissant l'équation d'une courbe quelconque, on trouve l'équation de la développée et celle du rayon de courbure en un point quelconque.

Soit

l'équation de la couibe; nous poserons

y'=f'[x) et y" = f"[^).

On sait (|ue l'équation de la normale au point de la courbe dont l^s coordonnées sont x et j-, est

X| et ^"i étant les coordonnées du centre de courbure. On aura, en différentiant pour passer à la normale infiniment voisine,

Si Ton élimine r et y entre (1), (2) et (3), il reste

«Hjtiation de la développée.

De plus, l'ccpiation ' 3)<lonne

re qui , transporté dans Téquation (.2), donne encore

comme d'ailleurs

on trouve

()(i bien

R = fii^

Si l'équation de la courbe est donnée au moyen des coordonnées polaires p et w, soient

/-^ et ^'^%=.p^on verra par les relations connues