La fonmile

donne lien à quehiues observations sur les relations qui existent entre les points singuliers d'tnie courbe plane et ceu\ de sa développée.

On voit que R devient infini ou cpie la courbure est nulle pour Fig- :^5. > " 1= o , ce (pii indique, comme on le sait,

un point d'inflexion de la développante. Ainsi les normales de la développante aux points d'inflexion sont en général les asymptotes de la développée, ])uis(pie R = oo {/îg- 55).

Les points dinflexion de la développée correspondent sur la développante à des points de refcronssement de seconde espèce, comme le montre la y%. 56. Cependant la réciproque n'est pas toujours Fig. 56. vraie : si le rayon de courbure est nul à ce point de rebroussement , la développée présente aussi un rcbroussement.

Quand le rayon de courbure est nid, les deux courbes se rencontrent et se coupent à angle droit, ce qui est nue consé(pience de leur génération mutuelle. On trouve

pour

ce qui correspond généralement , ainsi qu on l'a vu, aux points de rebroussement de première espèce de la dévelopj)ante.

Quant aux rebroussements de première espèce de la développée, ils correspondent d'ordinaire a»i\ inn.rimn et minitrui <lu ravon

de courbure de la développante, comme on peut le voir par la fi!!;. 57 , relative à l'ellipse.

Enfin, nous ferons observer que la développante d'une courbe fermée, telle que le cercle et l'ellipse, est une spirale indéfinie, parce que l'on peut regarder le fil comme enroulé autant de fois qu'on le voudra autour de la courbe : on peut même supposer que ce fil se déroule à droite ou à gauche; donc cette spirale est double, et les deux systèmes dont elle se compose se raccordent au point de départ en faisant un rebroussement de première espèce (/g'. 72).

IV. Le cercle osculateur d'une courbe quelconque présente une particularité remarquable, c'est qu'en général il coupe la courbe en même temps qu'il la touche. En el'fel , dans la portion de courbe où se trouve le point M que l'on considère, la courbure varie d'une manière continue {fi§- 5']) , et augnienle, par exemple, deB en A.

Donc, R étant le rayon de courbure M, M au j)oint jM,

celte courbure est <^- de

Ben M, et > - de M en A.

Mais conime elle est toujours égale à — pour tous R

les points du cei'clc, il s'ensuit que de B en M ce cercle passe au-dessous de la courbe, mais que de M' en A il jiasse au-dessus. La figure est faite pour nue ellipse, mais le raisonnement s'appliquerait à une courbe quelconque; cependant nous ferons observer, relativement à l'ellipse, que cette courbe étant du second degré, ne peut être rencontrée par un cercle qu'en ipiatre points : or, comme le point M d'osculation re[)résente déjà trois de ces points communs, le cercle osculateur ne peut plus rencontrer la courbe rpi'en un autre point D.

Il existe certains points j)our lesquels le cercle osculateur nt^ coupe plus la cnuibc : cela arrive pour les maxima et minima de

T1II.UIUK DEi COUUItKS l'I.ViNKS. ^.()7

courbure lie la ilcveloppante , c'csl-.i-iliic , daus l'exemple aclu<I , pour les soniniels tle l'ellipse, (els cpie A et B. Le cercle oscillateur en A, (le rayon A, A, est entièrement intérieur à rdlipsc, de même que le cercle osculateur en R, de rayon B, B , est complètement extérieur et embrasse l'ellipse. Chacun de ces deux cercles n'a qu'un point commun avec la courbe, parce (jue les sommets représentent quatre points ou trois éléments communs. C'est ainsi qu'une tangente , qui n'a généralement qu'un clément commun avec une courbe , en a deux dans les points d'inflexion.

Si l'on cherche l'cqualion de la développée A, B, d'une elli|)se dont l'équation est

on trouvera, en posant c' = a- — /-»',

.r et y étant les coordonnées du point M , x, et j, celles du point .M,. Cette équation , débarrassée des radicaux , est de la forme

elle est donc du quatrième degré. On voit (pi'elle rej)resente une courbe formée de quatre branches symétriques, avec des rebroussements de première es[)èce qui correspondent aux sommets : il ne faudrait pas croire que le point A, fût un des foyers de l'ellipse.

Celte développée est la car.sticjue [>ar refraction donnée par un point lumineux situé dans le milieu le plus réfringent.

Du reste, la construction graphique du cercle osculateur en un jjoint de l'ellipse se simplifie beaucoup par le tliéorème suivant, dont on trouvera la démonstration dans la Gcnmétrir niinlyti<fut de MM. Briot et Bouquet.

Quand un ccrclr coupe une clli/jsc m t/unln jxnnl', , les />ts.iiitriccs de rnnf;h' des cordes communes sorti juirnilèhs aux axes de In cdinhc.

ag8 ruAriTr.E skptième.

Cela posé, pour viiiir au cas dvt cercle osculaleur, supposons que, M et D étant deux des points de rencontre du cercle et de l'ellipse, les deux autres soient sur une corde qui se rapproche indéfiniment du point M , de manière à devenir la tanijente j\lT quand les points d'intersection de cette corde se réunissent en M; d'après la propriété précédente , la bissectrice MH sera parallèle à l'un des axes, qui se trouve ici être le grand axe.

Voici donc comment on peut construire le cercle osculaleur au point M. Menez MH parallèle à OA , et faites l'angle SMU = HMT, MT étant la tangente en M : prolongez SM jusqu'à la rencontre de l'ellipse en uri point D, et par les points D et M faites passer un cercle tangent à MT; ce sera le cercle osculateur.