V. Le calcul de la formule

qui donne le rayon de courbure, est quelquefois assez pénible; il est donc utile desavoir obtenir directement l'expression ,, quelquefois très-simple, du rayon de courbure dans certains points où cette considération est particulièrement importante , tels que les sommets des courbes, sans être obligé de passer [)ar la formule générale. Nous suivrons jiour cela une méthode analogue à celle que nous avons employée pour les tangentes au commencement du n" 97, c'est-à-dire que nous chercherons à identifier l'équation d'un cercle avec celle de la courbe, pour les premières puissances des coordonnées. Nous savons, d'ailleurs, que le centre du cercle osculateur est sur la normale au point de- contact , dont nous connaissons la direction par celle de la tangente. Considérons d'abord la parabole dont l'éfjuation est

/étant la distance du foyer au sommet. Le cercle osculateur ayant son centre sur l'axe des x, aura pour équation

négligeons .r' relativement à .r, puiscpic nous considérons des

THEORIE DES COUnnKS PLANES. 2l)<)

points très-voisins tlii sonnutt , il reste à identifier 2R r avce !\fx , ce qui donne

R = if.

De même, l'équation de l'ellipse rapportée à son sommet négatif sur le crand axe étant

ct celle tlu cercle oscuiateur en ce point étant

nous aurons, par le même raisonnement,

pour les extrémités du petit axe, on aurait

On peut souvent faire tlisparaître, par cette méthode, les indéterminations que pi'ésenterait la formule générale. Considérons la, courbe qui a pour équation

r' — a:' -f- 9. tfx'j' = O ,

et relativement à laquelle nous avons déjà reconnu (lOti) que l'origine était à la fois un rebroussement de première espèce pour deux branches situées du côté des y négatifs, et un point de contact avec l'axe des .r pour une branche placée du côté des r positifs. On sait que le rayon de courbure est nul à l'origine pour les branches de rebroussement, mais pour les branches de contact il a une valeur que nous allons chercher.

Le centre du cercle oscuiateur étant sur l'axe des y, ce cercle aura pour équation

.r'' = ■?. R > — ) -, ou plutôt

en négligeant » ■ relativemcnl à )'. Duii .iiilir c<')le, l'rqnalion de

300 (CHAPITRE SKPTliMK.

la courbo nous donne

x' z= aj -]- Y s/d' -h X Développons

on posant

nous savons que, pour £ très-petit, il reste

Ici nous (levons niètne négliger le deitiier terme, (pii clonne-

• f" lait — , et nous aurons

x'' = 2 ay, d'où l'on tire

R = fl.

Cette méthode s'applique à d'aiures points que les sommets jjroprement dits. Ainsi, cherchons le rayon de courbure à l'origine pour la courbe dont l'équation est

On sait que, pour x très-petit, se réduit à x\ il reste donc

Quant au cercle , son ecpiation sera

UT- = 2 Kj

rn négligeant j', ou bien

TlUOlUI, IIKS l.dl KHKS PI.ANKS. io I

idt'iuinant avec y -- .r', on trouve

ou bien

Ici, rorigine n'est pas un véritable sommet, carie cercle osculateur coupe la courbe.

VI. Nous avons admis, dans le paragraphe précèdent, que le point pour lequel on cherchait le rayon de courbure était l'origine elle-mètne ; c'est ce qu'il est toujours facile de supposer, en transportant les'coordonnecs parallèlement à leur direction.

Mais nous avons admis en même temps que cette direction des axes rectangulaires était celle de la tangente et de la normale à la courbe au point que l'on considère : on réalise cette supposition, si l'on changea en .rcos a — r sin a, et >• en .r siny. -f- j cosa : de cette manière, on revient aux hypothèses du paragraphe précédent , a étant Finclinaison de la tangente.

La courbe donnée étant donc tangente à l'axe des r, et son équation étant de la forme

o = Xx -\-Bj ■+- C.r' -f- Dxj H- E r' H- . . . ,

je dis d'abord qu'on devra avoir

Eu effet, divisons tout par x, il vient

G =r A + B-H-Cj: -}- D^- -4- Ej ■ - +. ... r X

Considérons l'origine où xi=o, j = o , mais cependant où l'inclinaison de la tangente à l'origine étant nulle, on doit avoir

il reste alors

Cola pose , nous remaïqut'rons encore cpic ]<• terme E; • est ne

3o2 CHAPITRE SEPTIKME.

gligeable relativement ù J)xy, car

et si l'on divise par x la quantité entre parenthèses, on obtient

ce qui se réduit à D pour l'origine, d'après ce que l'on vient de voir. On peut donc négliger le terme en j^ devant le ternie en .rj. L'équation de la courbe près de l'origine est donc

o= r (B + D.r)H- Cx% ce qui donne

mais pour .v très-petit on sait que cela se réduit à

ce qui amène à négliger à son tour le terme en xj. On a donc

équation qu'il faut identifier avec celle du cercle oscuiateur à l'origine, qui est

x^ = nRy.

Enfin

B ^ .T. B — - := 2 R , OU bien R =

C aC

Il y à inflexion si R = co , c'est-à-dire si C = o.