DIFFÉRENTES ESPÈCES DE COURBES ALGÉBRIQUES

104. On dit qu'une courbe plane est algébrique , quand elle peut se représenter par une équation à deux variables d'un nombre fini de termes, avec des exposants entiers qui indiquent le degré de la courbe.

rill.ORli; KF.S COUlUtK.S fl ANKS. 31)3

Dans le cas conhaiic , ou dit (|iic la «oui lit- est transccnflanii . l.cs théories que nous avons cxposi-rs jus(iu'à présent s^l|>|>lic|iient à toute espèce de courbes, quoique nous ne les ayons encore appliquées qu'à des courbes algébriques, excepté celle qui nous a servi d'exemple pour les points d'arrêt , et dont l'équation est

mais aussi des points de cette nature ne se rencontrent jamais dans les courbes algébriques, non plus que les points saillants.

Nous avons déjà cité (97, III) le Foliuni de Descartes, dont réq\iation

j' — 3 a.ry + .r ' = o ,

i\e pouvant se résoudre par rapport à aucune des variables, se

discute en posant

— = ? = tany m.

Nous avons parlé aussi de la cissuïde de Dioclès \ *), qui a pour cquation ordinaire

et pour équation polaii'e

p := 2 a sin &) tang w.

Voici sa description géométrique :

A l'une des extrémités d'un diamètre fixé pris sur un cercle de rayon a, élevez une perpendiculaire sur ce diamètre; de l'autre extrémité menez, sous une direction arbitraire, une sécante qui détermine sur le cercle une certaine corde, et va ensuite couper la perpendiculaire : portez sur cette sécante, à partir de l'extrémité du diamètre , une longueur égale à la portion de la sécante interceptée entre l'extrémité de la corde et la perpendiculaire ,

C* ) Ce nom de cissoïdc sijjnifie que !a courbe l'essemble :i une touille de lierre.

3o4 CHAPITRE SEPTIÈME.

les points ainsi obtenus jiour différentes directions formeront une cissoïde.

Nous allons encore rappeler les noms et les équations de quelquelques courbes algébriques :

Courbe du diable. — Ainsi nommée parce qu'elle ressemble au jouet d'enfant qui porte ce nom. Son équation est

r' — 1"' — C)6a^y' + loon'-.r- = o.

CoNCHoiDE DE ISicoMÈDE. — Etant donnés un point A et une droite OD [/îg- 58), si par ce point on mène la sécante AD qui coupe OD en D, et que sur cette sécante on prenne de part et d'autre du point D la distance constante DM = DM' = b , le lieu des points M et M' s'appelle une conclwtdc. Soit OA = a la distance du point à la droite, soient l'angle DAO := w et p le rayon vecteur; la figure donne inmiediatement

■àlb.

Mais il faut observer que tous les points peuvent être donnés par la seule ibrmule

' cosw

si l'on admet, comme on peut le faire toujours pour les coordonnées polaires, que l'on donne à &> des valeurs plus grandes que i8o degrés, et qu'un rayon vecteur négatif doive se porter en sens inverse de l'angle correspondant. Cela posé, admettons, pour fixer les idées , que l'on ait a ~^ b et à plus forte raison

'^ b : nous aurons d'abord le rayon vecteur

AM

Maintenant donnons à l'angle variable la valeur f 80 -\- m, ce qui dirigera le ravon vecteur suivant A m.

TnKORlF. UES rOlRIlFS l'LA^fES, 3f»5

La fonmilu

jioiis donnera, pour cette nouvelle direction,

P = o : -h 0 = h ij ,

COS(lbo -f- m) COS ',>

valeur négative, et qu'il faudra par conséquent porter, non pas de A vers w, mais de A en M'; or nous voyons que

Ainsi la valeur

\ COS Oi )

AM' = b

COS w

sera donnée par la formule générale

De même la formule

donnerait aussi toute la courbe. L'équation ordinaire, en prenan-t O pour origine, sera

La courbe se composera toujours, comme on le voit par sa description même, de deux parties séparées par leur commune asymptote OD.

La portion qui a son sommet en B aura toujours on ce jioint une tangente parallèle à l'asymptote et deux points d'inflexion symétriquement placés par rapport à OB, mais la forme de l'autre branche variera suivant les grandeurs relatives de a et de b.

Si fl^Z», comme \Afig. 58 le suppose, la tangente en B' est cnrore parallèic à l'asyniptote, et cette autre branche a aussi deux

3o6 CHAPITRE SEPTIKMR.

inflexions; de plus, l'équation par les cooidonnécs montre que A est alors un point conjugué.

Si b = a, les points B' et A se réunissent et forment un rebroussement de première espèce, OA étant la tangente commune.

Enfin, si a <^b, les points B' et A échangent évidemment les positions qu'ils ont sur la ^g. 58 et il se forme entre eux une boucle qui se rattache aux branches infinies situées de ce côté de l'asymplote.

Pour observer toutes ces particidarités, il faut déduire de l'équation

la relation

tang 9 — w = ^—, = r - ■'

sinw (p (!,)y/(p ^ji rt2

seulement , pour lever l'indétermination que donnerait p = o pour a z= b, il faut poser

tang' {B — o>) = jj- ~ ,

après avoir remarqué que le radical \/[ p — by — a% qui devient alors \Jp'' — 2 6p, ne devient pas imaginaire pour p<^2.b, parce que p peut être négatif.

Dans le cas où o <^ h, pour trouver p = o, il faut poser