o, don COS&) = y
cos w b
Alors
tang (9 — w) = o,
ce qui prouve (|ue ô est égal à l'angle &j ou bien à son supplé, ment. On trouve aussi les tangentes au point où se croise la boucle.
Nous remarquerons d'ailleurs qu'il est très-facile de construire graphiquement la tangente en un point quelconque par la consi-
THKORiK UFS cocunF.s planks. So":
dorationdu centre instantané de rotation. Soit la sécante AM' M qui donne les points M' et M de la conrbe ; élevez AC perpendiculaire à AiM et DC perpendicnlaire à OD; ces droites se coupent en C, qui est le centre de rotation : donc CM et CM' seront normales à la courbe.
Lieu des points tels, que la produit a"^ des distances de c/iacun d'eux à deu:r points fixes F et F' soit constant.
Soit
FF'=2c,
on trouve pour équation
^.r'l^ ^-2)'+ ic''[y'' — X') = a' — e\ L'équation polaire sera
p' 2 C-p^ COS 2 w =: a' — c',
mais il se présente diverses particularités suivant les valeurs de a et de c :
1°. a<^c; on a deux courbes séparées.
2°. a = c; on a une courbe en forme de 8 qui s'aijpeflj la lemniscate. C'est donc le lieu des points tels, que le produit des distances de chacun d'eux à deux points fixes F et F' est égal au carré a- de la moitié de FF'. Elle a donc pour équation
.r^ 4- j' + 2a^ ( ^^ — x') = o, ou bien p^ = 2^' cos aw.
3°. n^c. Ce troisième cas présente lui-même trois circonstances différentes, suivant que
a <^c ^1 , n^ csJt. ou a ^ c \'2 ;
dans cette dernière supposition, on a une ligur*? appelée ovale de Cassini.
Scarabée. — Les extrémités d'une droite de longueur constante la glissant sur deux droites rectangulaires; d'un point fixe pris sur la bissectrice de ces axes on abaisse une perpendiculaire sur la droite mobile: trouver le lieu des pieds de ces perpendiculaires.
Soit h la distance du point fixe aux i\c\\\ axes, et supposons
3o8 CHAPITRE SEPTIÈME.
les coortion liées transportées à ce point fixe comme origine, on u r(V)iialion
(j:' -f J'Y -\- }P{x H- yY (.r- -h y-) — l^a'x'y' = o.
[Voir la Géométrie analytique <leMi\l. liriot et Bouquet.)
Limaçon nE Pascal. — Nous allons encore étudier la courhc connue sous ce nom , et qui sert pour ainsi dire de transition entre les courbes alj;:ebriques et les courbes transcendantes, parce qu'elle se rattache à l'épicycloide.
Etant donnés un cercle de diamètre AO = a [Jig. Sg) et un Fig. 59. point A sur sa circonférence,
menez une corde quelconque terminée à ce cercle en P, et prenez, à partir du point P, sur cette corde , la distance constante PM=:PM'=:é, le lieu des points M et M' est le limaçon de Pascal.
On voit immédiatement que c'est aussi le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point A sur les tangentes a une circonférence de centre O et de rayon O^^h. Cela se reconnaît, parce que le rayon ON = ON' = b est aussi égal à PM = PM'. Du reste, le triangle rectangle APO donne
AP = a cosw.
Ainsi l'équation de la courbe se présente sous la forme
p = rt cos w dz ^ ;
mais il serait facile de faire voir, par le raisonnement déjà employé pour la conchoïde, que tous les points M ou M' peuvent être représentés par une seule équation
cj =: a cos co -f- ^ , ou bien p z= a cos w — b. L'équation exprimée par les coordonnées se'ra
jf2 | j2 — ax =: i \/.v'- + y'y ou jiien
ôp =s ax.
rill'ORir. DF.S OOURIU-S pi,.\nv.s. 3of)
La coiiilji' [)itMulia diverses loruies, suivant (juc l'on aura Fie- (Jo. l'ig. (il.
Fig. 6,.
Si b^ a ^ la courbe ne passe point par lorigine; cependant cette origine en fait tonjours'paKtie comme point conjugué, car l'équation par les coordonnées est toujours satisfaite pour
On tro.uve tang (G — w) =
— {a cosw-H h)
a sin w s^a- — {p — by
ce qui se réduit, pour le troisième cas où a = b, à
tani:f^^ -
:==COt-M :rr./jL 2 V p — 2rt
3lO CHAPITRE SKI'TIÈME.
ce qui lève l'indt-tcrminalion t-t fait voir que le point A [fig. 62)
est un rebroussement de première espèce, où AO est tangente.
On verra, comme pour la conclioïdc, que dans la^g'. 61,
au point A, pour lequel (3 = 0 et cosw = 5 la formule
tang (0 — w) = o
fait voir que 0 est égal ou supplémentaire de ci, c'est-à-dire que
les tangentes en ce pomt ont |)our cosinus iil-' '- a
Enfui, nous indiquerons encore la manière de mener la tangente par la considérai ion dn centre instantané de rotation. Soit C ( fig. 59) le centre du cercle de diamètre AO = a , soit S l'extrémité du diamètre dont PC est la moitié, S sera le centre instantané de rotation, car le point P est mobile sur le cercle et l'angle PAS est droit; de sorte que AS est perpendiculaire à la sécante mobile. Donc SM, SiM' seront normales à la courbe.
On a dû remarquer plusieurs analogies entre la conchoide de Nicomède et le limaçon de Pascal. En effet, il est possible de trouver une courbe dont les deux lignes indiquées ne soient que des cas particuliers.
Dit point quelconque O [fig. 63), menez au cercle de rayon Fig. G3. CA = R. et de centre C une xc-
M--^ eante OM qui coupe la circonférence en N t'? IN, , et de part et d'autre de chacun de ces points, — prenez les distances
NM = mi'= N, M, = N, M', =&,
on demande le lieu des points ainsi obtenus.
Chacun des triangles OCN , OCN, donnera, en posint OA = «,
la relation
COSw = : fT,- — -; — TT '
2 (rt -f- R)(p± Z»)
ou bien , en observant que le double signe est inutile et qu'oit peut ne garder que l'une des valeurs ±/', comme dans les deux
TIltOHlK in.S CODIVniS PI.AM-S. 3ll
courbes indicjiiccs, puis réduisant, nous aurons
2 CCS w ((? -^ R) (p -i- b) = a- -^ 2 a R + (p + b)'.
Pour tirer de celte formule générale celle de la conclioide, il faut diviser par R, puis poser R = oo , ce qui donne
p + by
2 COSw
et ensuite
2 cos 0) (o-j-b)= la , ou bien o = b ,
