COS&J

ce qui est l'une des formes de l'équation de la conchoïde. Ensuite, si « = o, il reste

2Rcosw(p + ^) = (p-t- ^)'.

On a donc l'ensemble du cercle représenté jjar p= b, |)uisque le signe de b est indiffèrent , et de la courbe qui a j)our à équation

p + Z» = 2 R cos w et p = 2 R cos w — b ;

c'est l'une des équations du limaçon de Pascal.

Nousallons encore chercher la tangente à cette courbe {fig. 64). Fi|î. 6^.

Soit la sécante ONN, coupant la circonférence aux points N et N, , et ujenez au point O la perpendiculaire SOS, à OiNN, ; joignez NC

ÛI2 CHAPITRE SEYTIEME.

qui coupe SOSi en S , de sorte que SM et SM' seront des normales .puisque S est le centre instantané relatif au point N. De même , joignez N, C qui coupe SOS, en S, , centre instantané relatif à N, , vous aurez les normales S, M, , S, M', .

On peut chercher quels sont les points H, h j)Our lesquels les deux portions de courbe se coupent; les points M' et M, se confondent au milieu delà corde NN, pour faire un triangle rectangle dont l'hypoténuse est

OC = fl 4- R , ce qui donne, pour H et h ,

f = (<7 + R) cos w. Si donc, sur OC := a + R comme diamètre, on décrit une circonférence, elle passera aux points H et // , quel que soit b , et aux points T et f de contact de la circonférence donnée avec les tangentes menées du point O, ce qui correspond à ^ =: o : les sécantes OH, OA au cercle de centre C donneront

p-— /^^= (rt -f- 2R)rt.

lOS. Cycloïdes et ÉpyciCLOÏDES. — Nous allons examiner maintenant quelques courbes transcendantes.

I. Une des plus importantes est la cjcloïde , dont voici la définîtion :

Un cercle de rayon CA = a {fig. 65) roule sans glisser sur une Fig. 6S.

TIILOniE DES COUl'.nF.S PI.ANKS. 3l3

droite DO; un point fixe placé sur celte ciiconfcicnce et partant du contact en O, décrit la courbe nommée cycloidc [* ).

Prenons sur OD la distance 0B'=: awrt, c'est-à-dire égale à la longueur de la circonférence , il est clair que le cercle arrive à cet endroit aura fait une révolution entière, et que le point lî' sera sur la courbe, ainsi que O; après cela, la courbe continuant son mouvement, donnera une seconde courbe égale h la première, en sorte que la cycloïde sera composée d'une infinité d'arceaux égaux entre eux.

D'ailleurs, le milieu B d'un arceau sera à une distance de OD marquée par BD=: ia, puisque le point décrivant aura parcouru une demi-circonférence.

Il est facile de construire la courbe par points. Nous avons pris 0B'=: 2 ~a; divisons la circonférence et OB' en un même nombre de parties égales, en 12 par exemple. Soit H le second point de division de la circonférence , et G le second point de division de la droite CL := OB' ; du centre G et du rayon GM =: a décrivons une portion de cercle qui rencontre en M la parallèle HM à OD et à CL , je dis que M est un point de la courbe , car l'arc JIE, de centre G, est évidemment égal à l'arc HO de centre C : on trouvera de même d'autres points de la courbe.

Comme le cercle roule sans glisser, on voit que le point E de contact correspondant à M est le centre instantané de rotation; donc ME est normale et donne la tangente FM , F étant l'extrémité du diamètre EGF.

Prolongeons ME d'une quantité EM' égale à elle-même, et imaginons en dessous de OD un cercle égal au premier, roulant sur D' O' parallèle à DO à la distance 2fl , mais roulant en sens contraire, c'est-à-dire de D' vers 0' : je dis alors que , si je considère ce nouveau cercle mobile dans la position du diamètre EG'F', prolongement de FGE , et si je prends M' pour le point mobile, il arrivera en 0 quand le cercle aura roulé jusqu'en O'. En effet, l'arc EM' = EM est égal à la droite EO, ce qui prouve que M' arrivera en O en même temps que F' en 0'. On voit , d'après cela ,

(*) Pascal s'est occupé île celle coiirl)0 . qu'à roll»- épnijuc on appelait quelquefois la roulctlr.

3l4 CHAPITRE SEPTIÉMK.

que l'ensemble des points INl' déterminera au-dessous de OD une autre cycloide é<^a\e k la première, puisqu'elle est engendrée par un cercle égal , mais placée inversement, comme l'indique la figure. D'ailleurs, cette nouvelle cycloide étant formée par les intersections consécutives des droites telles que EM', normales à la première courbe, sera la développée de cette première cycloide, et la droite EM' lui sera tangente.

On remarque aussi que le rayon de courbure MM' est double de ta normale EM. Donc , en supposant un fil enroulé sur la déveloi)pante OD', on voit que MM' sera la longueur de l'arc OM', et, enfin , le double diamètre BD' est égal au dcmi-arcenu OD'.

On peut encore établir un théorème remarquable relatif à la surface de l'arceau de cycloide.

Considérons les deux tangentes infiniment voisines à la développée NN', PP', qui sont en même temps normales ii la développante, et soient n et p les points où elles coupent OB'. On sait

que N'/z est la moitié de N'N et P'/7=r-P'P; or, les figures

NN' P' P, rtlN' P'/p pouvant être considérées comme des triangles qui ontlNP et np pour base, et un angle égal au sommet, seront entre elles comme les produits des côtés qui composent cet angle, c'est-à-dire (jue